Suponha que a variável aleatória bidimensional (X,Y) tenha fdp conjunta
f(x, y)=rll x^2+x y3 & se & 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 0 & se & cc
Calcule o seguinte:
(1) P(X>12).
(2) P(Y.
(3) P(Y<12 rvert, X<12).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade envolvendo uma variável aleatória bidimensional (X, Y) com uma função de densidade conjunta dada por:
f(x, y)=rll x^2+x y3 & se & 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 0 & se & caso contrário á
O que a gente precisa calcular são três probabilidades específicas:
  1. $ P\left(X > \frac{1}{2}\right) $
  2. $ P(Y < X) $
  3. $ P\left(\left.Y < \frac{1}{2} \right\rvert, X < \frac{1}{2}\right) $
Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição de probabilidade conjunta, integração para encontrar probabilidades marginais e condicionais. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Calculando $ P\left(X > \frac{1}{2}\right) $
Primeiro, queremos saber a probabilidade de $ X $ ser maior que $ \frac{1}{2} $. Para isso, precisamos encontrar a distribuição marginal de $ X $, que chamamos de $ f_X(x) $. Isso se faz integrando a função de densidade conjunta em relação a $ y $:
P(X > 12)
Vamos calcular essa integral:
X
Agora, para encontrar $ P\left(X > \frac{1}{2}\right) $, integramos $ f_X(x) $ de $ \frac{1}{2} $ até 1:
12
Vamos resolver essa integral:
X
Então:
fX(x)
y

Passo 3

Calculando $ P(Y < X) $
Agora queremos a probabilidade de $ Y $ ser menor que $ X $. Para isso, vamos integrar a função de densidade conjunta sobre a região onde $ Y < X $ e dentro dos limites de $ X $ e $ Y $:
P(Y < X)
Como $ X $ varia de 0 a 1 e $ Y $ de 0 a 2, e queremos $ Y < X $, a integração fica de $ y = 0 $ até $ y = \min(X, 2) $. Mas como $ X \leq 1 $ e $ 2 \geq X $, a integral interna vai de 0 a $ X $:
Y
Vamos resolver a integral interna primeiro:
X
Agora, integramos isso em relação a $ x $:
Y < X

Passo 4

Calculando $ P\left(Y < \frac{1}{2} ,|, X < \frac{1}{2}\right) $
Queremos a probabilidade condicional de $ Y < \frac{1}{2} $ dado que $ X < \frac{1}{2} $. A fórmula para probabilidade condicional é:
P(Y < 12 ,|, X < 12)
Primeiro, vamos encontrar $ P\left(X < \frac{1}{2}\right) $. A gente já calculou $ P\left(X > \frac{1}{2}\right) = \frac{5}{6} $, então:
Y < 12
Agora, vamos calcular $ P\left(Y < \frac{1}{2} \cap X < \frac{1}{2}\right) $, que é a integral da função de densidade conjunta sobre $ 0 \leq X < \frac{1}{2} $ e $ 0 \leq Y < \frac{1}{2} $:
X < 12
Resolvendo primeiro a integral interna:
P(Y < 12 ,|, X < 12) = P(Y < 12 cap X < 12)P(X < 12)
Agora, integramos isso em relação a $ x $:
P(X < 12)
Agora, aplicamos na fórmula da probabilidade condicional:
P(X > 12) = 56

Resposta

  1. $ P\left(X > \frac{1}{2}\right) = \frac{5}{6} $
  2. $ P(Y < X) = \frac{7}{24} $
  3. $ P\left(Y < \frac{1}{2} ,|, X < \frac{1}{2}\right) = \frac{5}{32} $

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