Acende-se uma lâmpada no instante t=0. Para t>0, seja Q(t+De<a t mid t) a probabilidade condicional da lâmpada queimar até o instante t+De<a t, dado que ficou acesa até o instante t. Suponha que forall t>0, Q(t+De<a t mid t)De<a t lambda t quando De<a t 0, onde lambda>0 não depende de t. (Este limite é chamada taxa de falha da låmpada. Neste exemplo, a taxa de falha, lambda, é proporcional à idade.)
(a) Ache a equação diferencial satisfeita pela função P(t)= probabilidade da lâmpada ficar acesa até o instante t. Você pode supor que a função P seja continua, com P(0)=1, e que as derivadas à direita e à esquerda sejam iguais.
(b) Resolva a equação diferencial do item (a).
(c) Obtenha e resolva a equação diferencial satisfeita por P(t) quando a taxa de falha é constante (=lambda).

Passo 1

O enunciado considera uma lâmpada ligada em t=0. Para t>0, a probabilidade condicional de falha no intervalo [t,t+De<a t] é Q(t+De<a tmid t) e satisfaz
limDe<a tto0Q(t+De<a tmid t)De<a t=lambda t,
onde lambda>0 é constante. Definimos P(t) como a probabilidade da lâmpada permanecer acesa até o instante t. Vamos formular a equação diferencial para P(t) usando a relação de sobrevivência e depois resolver. No item (c) mudamos apenas a taxa de falha para constante.

Passo 2

A relação de sobrevivência dá
P(t+De<a t)=P(t)l[1 - Q(t+De<a tmid t)r]
Dividindo por De<a t e tomando o limite:
P(t+De<a t)-P(t)De<a t =-P(t),Q(t+De<a tmid t)De<a t Longrightarrow P'(t)=-lambda t,P(t)

Passo 3

Para resolver
P'(t)=-lambda t,P(t),
separamos variáveis:
dPP=-lambda t,dt
Integrando de 0 a t:
ln P(t)-ln P(0)=-lambda t^22
Como P(0)=1, temos ln P(0)=0 e
P(t)=exp!l(-tfraclambda t^22r)

Passo 4

Se a taxa de falha é constante igual a lambda, então
limDe<a tto0Q(t+De<a tmid t)De<a t=lambda
leva à equação
P'(t)=-lambda P(t),
com P(0)=1. A separação de variáveis dá
dPP=-lambda,dt Longrightarrow P(t)=exp(-lambda t)

Resposta

(a) dPdt = -lambda t,P(t)
(b) P(t)=exp!l(-tfraclambda t^22r)
(c) dPdt = -lambda P(t), P(t)=exp(-lambda t)

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