Acende-se uma lâmpada no instante
. Para
, seja
a probabilidade condicional da lâmpada queimar até o instante
, dado que ficou acesa até o instante
. Suponha que
quando
, onde
não depende de
. (Este limite é chamada taxa de falha da låmpada. Neste exemplo, a taxa de falha,
, é proporcional à idade.)
(a) Ache a equação diferencial satisfeita pela função
probabilidade da lâmpada ficar acesa até o instante
. Você pode supor que a função
seja continua, com
, e que as derivadas à direita e à esquerda sejam iguais.
(b) Resolva a equação diferencial do item (a).
(c) Obtenha e resolva a equação diferencial satisfeita por
quando a taxa de falha é constante
.
(a) Ache a equação diferencial satisfeita pela função
(b) Resolva a equação diferencial do item (a).
(c) Obtenha e resolva a equação diferencial satisfeita por
Passo 1
O enunciado considera uma lâmpada ligada em
. Para
, a probabilidade condicional de falha no intervalo
é
e satisfaz
onde
é constante. Definimos
como a probabilidade da lâmpada permanecer acesa até o instante
. Vamos formular a equação diferencial para
usando a relação de sobrevivência e depois resolver. No item (c) mudamos apenas a taxa de falha para constante.
Passo 2
A relação de sobrevivência dá
Dividindo por
e tomando o limite:
Passo 3
Para resolver
separamos variáveis:
Integrando de
a
:
Como
, temos
e
Passo 4
Se a taxa de falha é constante igual a
, então
leva à equação
com
. A separação de variáveis dá
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)