Sejam A, B e C eventos aleatórios. Identifique as seguintes equações e frases, casando cada equação expressa na notação de conjuntos com a correspondente frase na linguagem de eventos:
(a) A cap B cap C=A cup B cup C
(b) A cap B cap C=A
(c) A cup B cup C=A
(d) (A cup B cup C)-(B cup C)=A
(i) A e " B ou C " são incompatíveis.
(ii) Os eventos A, B, C são idênticos.
(iii) A ocorrência de A implica a de " B e C ".
(iv) A ocorrência de A decorre da de “B ou C”.

Passo 1

O enunciado nos dá três eventos aleatórios A,B,C e quatro igualdades em notação de conjuntos:
(a) Acap Bcap C = Acup Bcup C
(b) Acap Bcap C = A
(c) Acup Bcup C = A
(d) (Acup Bcup C)-(Bcup C)=A
e quatro frases sobre incompatibilidade, identidade e implicações entre eventos. Nosso objetivo é traduzir cada igualdade em termos de inclusões ou interseções vazias e associar à frase correta.

Passo 2

Analisando (a)
Acap Bcap C = Acup Bcup C
Isso só ocorre quando todos os conjuntos são iguais, pois a interseção é tão grande quanto a união. Logo
A = B = C
Isto corresponde à frase
(ii) “Os eventos A,B,C são idênticos.”

Passo 3

Analisando (b)
Acap Bcap C = A
Isto significa que todo ponto de A pertence também a B e a C, ou seja
A subseteq Bcap C
Na linguagem de eventos, “se A ocorre então B e C ocorrem”. Corresponde à frase
(iii) “A ocorrência de A implica a de ‘ B e C’.”

Passo 4

Analisando (c)
Acup Bcup C = A
Isso implica que B e C não adicionam nada à união, logo
Bcup C subseteq A
Em termos de eventos, “se ocorrer ‘ B ou C’ então A ocorre”. Corresponde à frase
(iv) “A ocorrência de A decorre da de ‘ B ou C’.”

Passo 5

Analisando (d)
(Acup Bcup C)-(Bcup C) = A
O lado esquerdo equivale a
l(Acup(Bcup C)r)setminus(Bcup C) = Acap (Bcup C)^c
Igualar isso a A significa que todo ponto de A está fora de Bcup C, ou seja
Acap(Bcup C)=varnothing
Em eventos: “ A e ‘ B ou C’ são incompatíveis”. Corresponde à frase
(i) “ A e ‘ B ou C’ são incompatíveis.”

Resposta

(a) – (ii)
(b) – (iii)
(c) – (iv)
(d) – (i)

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