Em uma cidade onde se publicam três jornais - A, B e C -constatou-se que dentre 1000 famílias assinam: A-470; B420; C-315; A e B-110; A e C-220; B e C-140 e 75 assinam os três. Escolhendo-se ao acaso uma família, qual a probabilidade de que ela:
a) Não assine nenhum dos três jornais;
b) Assine apenas um dos três jornais;
c) Assine pelo menos dois jornais.

Passo 1

O enunciado diz que em 1000 famílias temos as seguintes assinaturas:
lvert Arvert = 470, lvert Brvert = 420, lvert Crvert = 315,
lvert Acap Brvert = 110, lvert Acap Crvert = 220, lvert Bcap Crvert = 140, e lvert Acap Bcap Crvert = 75.
O objetivo é calcular probabilidades de eventos envolvendo quantas assinaturas cada família faz, usando o Princípio da Inclusão-Exclusão para contar quantos elementos estão em certas uniões ou interseções.

Passo 2

Primeiro encontramos o total de famílias que assinam pelo menos um jornal, ou seja
lvert Acup Bcup Crvert = lvert Arvert + lvert Brvert + lvert Crvert - l(lvert Acap Brvert + lvert Acap Crvert + lvert Bcap Crvertr) + lvert Acap Bcap Crvert
Substituindo os valores:
lvert Acup Bcup Crvert = 470 + 420 + 315 - (110 + 220 + 140) + 75 = 1205 - 470 + 75 = 810

Passo 3

a) “Não assinar nenhum dos três jornais” significa famílias fora da união, ou seja
lvertnenhumrvert = 1000 - lvert Acup Bcup Crvert = 1000 - 810 = 190
A probabilidade é
P(nenhum) = 1901000 = 0,19

Passo 4

b) “Assinar apenas um dos três jornais” pede o total de assinantes exclusivas de cada jornal. Por exemplo, só A:
lvertsó Arvert = lvert Arvert - lvert Acap Brvert - lvert Acap Crvert + lvert Acap Bcap Crvert = 470 -110 -220 +75 = 215 ó
De modo análogo:
lvertsó Brvert = 420 -110 -140 +75 = 245, ó
lvertsó Crvert = 315 -220 -140 +75 = 30 ó
Somando:
lvertapenas umrvert = 215 + 245 + 30 = 490,
logo
P(apenas um) = 4901000 = 0,49

Passo 5

c) “Assinar pelo menos dois jornais” inclui exatamente dois e exatamente três. O número que assina exatamente dois jornais é
(lvert Acap Brvert - lvert Acap Bcap Crvert) +(lvert Acap Crvert - lvert Acap Bcap Crvert) +(lvert Bcap Crvert - lvert Acap Bcap Crvert)
= (110-75)+(220-75)+(140-75) = 35 +145 +65 =245
Somando com os 75 que assinam os três, temos
lvertpelo menos doisrvert = 245 + 75 = 320,
e a probabilidade
P(pelo menos dois) = 3201000 = 0,32

Resposta

a) 0,19
b) 0,49
c) 0,32

Exercícios de Livros Relacionados