Considere uma população infinita \Omega que contém uma subpopulação G também infinita. A subpopulação G corresponde a uma fração p da população \Omega. Uma amostra aleatória com n elementos é extraída da população e conta-se o número X de elementos da amostra que pertencem à subpopulação G. Mostre que:
a) \mathrm{X} \sim \operatorname{Binomial}(\mathrm{n} ; \mathrm{p});
b) \mathrm{E}(\mathrm{X})=\mathrm{np};
c) \operatorname{Var}(\mathrm{X})=\mathrm{np}(1-\mathrm{p}).
Sugestão: Para cada elemento i da amostra construa uma variável aleatória U_{i} tal que U_{i}=\left\{\begin{array}{l}1, \text { se } i \in \Gamma \\\\ 0, \text { se } i \notin \Gamma\end{array}\right.. Então \mathrm{U}_{\mathrm{i}} \sim \operatorname{Bernoulli}(\mathrm{p}), \mathrm{U}_{1}, \mathrm{U}_{2}, \ldots, \mathrm{U}_{\mathrm{n}} são independentes e \mathrm{X}=\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{U}_{\mathrm{i}}.
Passo 1
O enunciado considera uma população infinita \Omega com uma subpopulação infinita G que corresponde à fração p de \Omega. Extraímos uma amostra aleatória de tamanho n e contamos X, o número de elementos da amostra que pertencem a G. O conteúdo a ser usado é que a soma de variáveis indicadoras independentes com distribuição de Bernoulli é uma Binomial, e daí decorrem as fórmulas de esperança e variância.
Passo 2
Para cada elemento i\) da amostra, definimos a variável indicadora
\[U_i = \begin{cases} 1, &\text{se o elemento \(i pertence a G},\ 0, &caso contrário. \end{cases}]
Como a amostra é aleatória em uma população infinita,
P(U_i=1)=p \quad\text{e}\quad P(U_i=0)=1-p,
ou seja, \,U_i \sim \mathrm{Bernoulli}(p).
Passo 3
Ainda pela hipótese de população infinita, a retirada de um elemento não afeta a probabilidade de incluir outro em G. Portanto as variáveis
U_1,\;U_2,\;\dots,\;U_n
são independentes.
Passo 4
Definimos
X = \sum_{i=1}^n U_i.
Como soma de n variáveis independentes \mathrm{Bernoulli}(p), temos
X \sim \mathrm{Binomial}(n,p).
Passo 5
Pela linearidade da esperança,
E(X) = E\Bigl(\sum_{i=1}^n U_i\Bigr) = \sum_{i=1}^n E(U_i) = \sum_{i=1}^n p = np.
Passo 6
Pela independência e pela fórmula da variância de Bernoulli,
a) X \sim \mathrm{Binomial}(n,p)
b) E(X)=np
c) \operatorname{Var}(X)=np(1-p)
Probabilidade e Estatística - João Pinheiro, Santiago Carvajal, Sonia Cunha e Gastão Coelho Gomes - Probabilidade e Estatística. Quantificando a Incerteza - 1ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. P6.3