Considere 3 vogais (incluindo o A ) e 7 consoantes (incluindo o B) :
(a) Quantos anagramas de 5 letras diferentes podem ser formados com 3 consoantes e 2 vogais?
Considerando os anagramas do item (a), responda:
(b) Quantos contêm a letra B ?
(c) Quantos começam com o B ?
(d) Quantos começam com o A?
(e) Quantos começam com o A e contêm o B ?

Passo 1

O enunciado fala de um alfabeto com 3 vogais (incluindo A) e 7 consoantes (incluindo B), e pede primeiro, em (a), o número de anagramas de 5 letras distintas que tenham exatamente 3 consoantes e 2 vogais. Nas partes (b)–(e) impõem-se restrições adicionais sobre a letra B e o A. Para resolver usamos combinatória de escolha de subconjuntos (combinações) e permutação dessas letras.

Passo 2

Para (a), primeiro escolhemos as 3 consoantes entre as 7 disponíveis, depois escolhemos as 2 vogais entre as 3, e então permutamos as 5 letras:
\binom{7}{3}\times \binom{3}{2}\times 5! \;=\; \bigl(35\bigr)\times\bigl(3\bigr)\times 120 \;=\;12600.

Passo 3

Em (b) queremos ainda conter a letra B. Isso significa que, entre as 3 consoantes escolhidas, uma já é B; as outras 2 vêm de 6 consoantes remanescentes. Mantemos a escolha de 2 vogais de 3 e permutamos tudo:
\binom{6}{2}\times \binom{3}{2}\times 5! \;=\;15\times 3\times 120 \;=\;5400.

Passo 4

Em (c) os anagramas devem começar com B. Fixamos B na posição 1 e escolhemos as 4 letras seguintes: 2 vogais de 3 e 2 consoantes de 6 (excluindo B), que permutamos em 4! formas:
\binom{3}{2}\times \binom{6}{2}\times 4! \;=\;3\times 15\times 24 \;=\;1080.

Passo 5

Em (d) os anagramas começam com A. Fixamos A na posição 1; restam escolher 1 vogal entre as 2 outras e 3 consoantes entre as 7, e permutar as 4 letras restantes:
\binom{2}{1}\times \binom{7}{3}\times 4! \;=\;2\times 35\times 24 \;=\;1680.

Passo 6

Em (e) combinamos “começa com A” e “contém B”. Logo, posição 1 é A, entre as 3 consoantes uma é B e as outras 2 vêm de 6, e a vogal extra de 2; enfim permutamos as 4 letras restantes:
\binom{6}{2}\times \binom{2}{1}\times 4! \;=\;15\times 2\times 24 \;=\;720.

Resposta

(a) 12600
(b) 5400
(c) 1080
(d) 1680
(e) 720

Exercícios de Livros Relacionados