Determine o número de permutações caóticas de ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ) nas quais os números 1,2,3,4,5 ocupam, em alguma ordem, os cinco primeiros lugares.

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações de (1,2,dots,10) tais que os números 1,2,3,4,5 ocupem exatamente as cinco primeiras posições (em qualquer ordem) e, implicitamente, os números 6,7,8,9,10 fiquem nas cinco últimas posições. O conteúdo aqui é contagem de permutações com posições restritas.

Passo 2

Escolhemos uma ordenação dos elementos 1,2,3,4,5 nas cinco primeiras posições. Como são cinco elementos distintos e cinco lugares, o número de maneiras é
5! = 120

Passo 3

De modo análogo, uma vez fixado quem vai nas cinco primeiras posições, restam os elementos 6,7,8,9,10 para preencher as cinco últimas posições. O número de maneiras de permutar esses cinco elementos é também
5! = 120

Passo 4

Para cada escolha de arranjo dos primeiros cinco, podemos combinar com qualquer arranjo dos últimos cinco. Pelo princípio fundamental da contagem, multiplicamos as contagens parciais:
5! times 5! = 120 times 120 = 14400

Resposta

O número procurado de permutações é 14400.

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