Dois médicos devem examinar, durante uma mesma hora, 6 pacientes, gastando 10 minutos com cada paciente. Cada um dos 6 pacientes deve ser examinado pelos dois médicos. De quantos modos pode ser feito um horário compatível?
Passo 1
O enunciado diz que temos
pacientes e
médicos, cada médico atende em
slots de
min dentro de uma hora. Cada paciente deve passar pelos dois médicos, mas não pode haver simultaneidade (ou seja, no mesmo slot o segundo médico não pode atender o mesmo paciente que o primeiro). Precisamos contar de quantas maneiras podemos montar as duas listas de atendimento, uma para cada médico, sem coincidências de paciente no mesmo slot.
Passo 2
Escolhendo a ordem de atendimento do primeiro médico temos simplesmente todas as permutações de
pacientes, ou seja
maneiras.
Passo 3
Para o segundo médico também escolhemos uma permutação dos
pacientes, mas com a restrição de que em cada um dos
slots ele não atenda ao mesmo paciente que o primeiro médico atendeu naquele slot. Isto é exatamente o problema de contar derangements (permutações sem pontos fixos) de
elementos, cujo número costumamos denotar por
.
Passo 4
Usamos a fórmula de derangements:
Para
isso dá
Passo 5
Como as escolhas de horários de cada médico são independentes (dado o primeiro, o segundo tem
possibilidades), o total de escalas compatíveis é