Dois médicos devem examinar, durante uma mesma hora, 6 pacientes, gastando 10 minutos com cada paciente. Cada um dos 6 pacientes deve ser examinado pelos dois médicos. De quantos modos pode ser feito um horário compatível?

Passo 1

O enunciado diz que temos 6 pacientes e 2 médicos, cada médico atende em 6 slots de 10 min dentro de uma hora. Cada paciente deve passar pelos dois médicos, mas não pode haver simultaneidade (ou seja, no mesmo slot o segundo médico não pode atender o mesmo paciente que o primeiro). Precisamos contar de quantas maneiras podemos montar as duas listas de atendimento, uma para cada médico, sem coincidências de paciente no mesmo slot.

Passo 2

Escolhendo a ordem de atendimento do primeiro médico temos simplesmente todas as permutações de 6 pacientes, ou seja
6! = 720
maneiras.

Passo 3

Para o segundo médico também escolhemos uma permutação dos 6 pacientes, mas com a restrição de que em cada um dos 6 slots ele não atenda ao mesmo paciente que o primeiro médico atendeu naquele slot. Isto é exatamente o problema de contar derangements (permutações sem pontos fixos) de 6 elementos, cujo número costumamos denotar por !6.

Passo 4

Usamos a fórmula de derangements:
!n = n!sumk=0^n(-1)^kk!
Para n=6 isso dá
!6 = 6!l(1 - tfrac11! + tfrac12! - tfrac13! + tfrac14! - tfrac15! + tfrac16!r) =720cdot0,3680556approx265

Passo 5

Como as escolhas de horários de cada médico são independentes (dado o primeiro, o segundo tem !6 possibilidades), o total de escalas compatíveis é
6!times !6 =720times265 =190800

Resposta

190800 modos de montar o horário compatível.

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