Para os doze pares (x, y) apresentados a seguir:
a) calcule o coeficiente de correlaçāo;
b) verifique se podemos afirmar que as variaveis tendem a variar inversamence, ao nível de 1 \% de significância.
x y x y
35,6 112,4 34,8 113,0
37,7 109,1 38,2 108,5
37,3 108,8 36,8 112,0
35,2 111,2 37,5 110,2
38,2 109,4 39,0 107,9
36,4 110,6 36,3 109,4

Passo 1

O enunciado nos dá n=12 pares (x_i,y_i) e pede:
  • a) o coeficiente de correlação amostral r;
  • b) teste, ao nível de \alpha=1\%, para verificar se há correlação negativa (variam inversamente).
    Vamos usar a fórmula clássica de r e o teste t associado.

Passo 2

Calculamos as somas necessárias a partir dos doze pares: \sum x = 443{,}0, \sum y = 1322{,}5, \sum x^2 = 16372{,}64, \sum y^2 = 145780{,}23, \sum xy = 48802{,}43.

Passo 3

O coeficiente de correlação é
r \;=\; \frac{n\sum xy \;-\;\sum x\,\sum y} {\sqrt{\bigl(n\sum x^2 - (\sum x)^2\bigr)\,\bigl(n\sum y^2 - (\sum y)^2\bigr)}}.
Substituindo:
r = \frac{12\cdot48802{,}43 \;-\;443{,}0\cdot1322{,}5} {\sqrt{\bigl(12\cdot16372{,}64 - 443{,}0^2\bigr)\,\bigl(12\cdot145780{,}23 - 1322{,}5^2\bigr)}} \approx -0{,}846.

Passo 4

Para testar H_0\colon\rho=0 versus H_1\colon\rho<0 usaremos
t \;=\; r\;\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} \quad\text{com }n-2=10.
Calculando,
t = -0{,}846\;\sqrt{\frac{10}{1-(-0{,}846)^2}} \approx -5{,}0.
O valor crítico à esquerda para \alpha=0{,}01 e 10 graus de liberdade é cerca de -2{,}764. Como
t_{\rm obs}=-5{,}0 < -2{,}764,
rejeitamos H_0. Há evidência, ao nível de 1%, de correlação negativa.

Resposta

a) r \approx -0,846.
b) Sim, rejeita-se H_0 a 1%, logo as variáveis tendem a variar inversamente.

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