Encontrar a seqüência gerada pelas funções geradoras ordinárias dadas abaixo:
(c) x^{2}(1-3 x)^{-1}

Passo 1

O enunciado pede a sequência \{a_n\}_{n\ge0} cuja função geradora ordinária é
x^2(1-3x)^{-1}.
O conteúdo aqui é expansão em série geométrica e manipulação de geradora. Vamos usar a identidade de série geométrica (1 - z)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty z^k.

Passo 2

Usando a série geométrica com z=3x, temos
\frac{1}{1-3x} = \sum_{k=0}^\infty 3^k x^k.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x^2, obtemos
x^2\frac{1}{1-3x} = \sum_{k=0}^\infty 3^k x^{k+2}.
Fazendo a mudança de índice n = k+2, isto é, k = n-2, o somatório vira
\sum_{n=2}^\infty 3^{\,n-2}x^n.

Passo 4

Comparando com \sum_{n=0}^\infty a_n x^n, vemos que
  • para n=0 e n=1 não há termos, logo a_0=0 e a_1=0;
  • para n\ge2, o coeficiente é a_n=3^{\,n-2}.

Resposta

A sequência gerada é
a_0 = 0,\quad a_1 = 0,\quad a_n = 3^{\,n-2}\\ \text{para }n\ge2.

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