1. Numa fábrica com cinco máquinas automáticas de embalagem, existe a suspeita de que pelo menos uma delas esteja desregulada em relação às outras quanto ao peso médio embalado. Para tirar as dúvidas, foram extraidas cinco amostras de quatro elementos cada, uma de cada máquina. Ao nível 1 \% de significáncia, qual a conclusão? Os dados das cinco amostras, em gramas, são apresentados a seguir, correspondendo cada coluna a uma amostra.
230 228 225 231 226
235 233 227 229 230
237 236 230 231 229
230 230 224 225 228

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos cinco máquinas (grupos) cada uma com uma amostra de n=4 embalagens, totalizando N=20 observações. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,01, se as médias de peso das cinco máquinas são iguais. O teste apropriado é a análise de variância one-way (ANOVA).

Passo 2

Calcular as médias de cada máquina e a média geral. Os dados estão organizados em cinco colunas (máquinas).
Máquina 1: 230,235,237,230 \displaystyle \bar x_{1}=\frac{230+235+237+230}{4}=233
Máquina 2: 228,233,236,230 \displaystyle \bar x_{2}=\frac{228+233+236+230}{4}=231{,}75
Máquina 3: 225,227,230,224 \displaystyle \bar x_{3}=\frac{225+227+230+224}{4}=226{,}5
Máquina 4: 231,229,231,225 \displaystyle \bar x_{4}=\frac{231+229+231+225}{4}=229
Máquina 5: 226,230,229,228 \displaystyle \bar x_{5}=\frac{226+230+229+228}{4}=228{,}25
Média geral:
\bar x = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^5\sum_{j=1}^{4} x_{ij} = \frac{932+927+906+916+913}{20} =229{,}7.

Passo 3

Calcular a soma de quadrados entre grupos (SSB) e seu grau de liberdade.
SSB = n\sum_{i=1}^5(\bar x_i-\bar x)^2 =4\bigl[(233-229{,}7)^2+(231{,}75-229{,}7)^2+(226{,}5-229{,}7)^2+(229-229{,}7)^2+(228{,}25-229{,}7)^2\bigr] =111{,}7.
Grau de liberdade entre: df_{B}=k-1=5-1=4.

Passo 4

Calcular a soma de quadrados dentro dos grupos (SSW) e seu grau de liberdade. Para cada máquina somamos \sum(x_{ij}-\bar x_i)^2:
Máquina 1: desvios -3,2,4,-3 → soma dos quadrados 38
Máquina 2: desvios -3{,}75,1{,}25,4{,}25,-1{,}75 36{,}75
Máquina 3: desvios -1{,}5,0{,}5,3{,}5,-2{,}5 21
Máquina 4: desvios 2,0,2,-4 24
Máquina 5: desvios -2{,}25,1{,}75,0{,}75,-0{,}25 8{,}75
SSW = 38 + 36{,}75 + 21 + 24 + 8{,}75 = 128{,}5.
Grau de liberdade dentro: df_{W}=N-k=20-5=15.

Passo 5

Calcular os quadrados médios e a estatística F:
MSB = \frac{SSB}{df_{B}}=\frac{111{,}7}{4}=27{,}925, \qquad MSW = \frac{SSW}{df_{W}}=\frac{128{,}5}{15}\approx8{,}5667,
F_{\text{calc}} = \frac{MSB}{MSW}\approx\frac{27{,}925}{8{,}5667}\approx3{,}26.

Passo 6

Valor crítico para \alpha=0{,}01, df_{1}=4, df_{2}=15 é aproximadamente
F_{0{,}01}(4,15)\approx4{,}7.
Como F_{\text{calc}}=3{,}26 < 4{,}7, não rejeitamos H_0. Não há evidência, ao nível de 1\%, de que as médias difiram.

Resposta

Não rejeita-se H_0. Ao nível de significância de 1\%, não há diferença significativa entre as médias de peso das cinco máquinas.

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