A função de distribuição conjunta de X\) e \(Y\) é dada por: \[F_{X, Y}(x, y)= \begin{cases}0, & \text { se } x<0 \text { ou } y<0 \\\ \frac{1}{6}\left(x^{2} y+x y^{2}\right), & \text { se } 0 \leq x<2,0 \leq y<1 \\\ \frac{1}{6}\left(x^{2}+x\right), & \text { se } 0 \leq x<2, y \geq 1 \\\ \frac{1}{3}\left(2 y+y^{2}\right), & \text { se } x \geq 2,0 \leq y<1 \\\\ 1, & \text { se } x \geq 2, y \geq 1\end{cases}
Determine o valor esperado de (X+Y-2 X Y].

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição conjunta F_{X,Y}(x,y) por partes e pede \mathbb{E}[\,X+Y-2XY]. Para resolver, vamos:
  1. Obter a densidade conjunta f_{X,Y}(x,y) derivando F_{X,Y}.
  2. Escrever a esperança de g(X,Y)=X+Y-2XY como integral dupla de g(x,y)\,f_{X,Y}(x,y).
  3. Calcular essa integral passo a passo.

Passo 2

Na região 0\le x<2,\;0\le y<1, temos
F_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{6}\bigl(x^2y + xy^2\bigr).
Logo
\frac{\partial F}{\partial x} =\frac{1}{6}\bigl(2xy + y^2\bigr), \quad \frac{\partial^2 F}{\partial y\,\partial x} =\frac{1}{6}(2x+2y) =\frac{x+y}{3}.
Fora dessa região a derivada mista é zero. Assim
f_{X,Y}(x,y) =\begin{cases} \dfrac{x+y}{3},&0\le x<2,\;0\le y<1,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 3

Escrevemos
\mathbb{E}[X+Y-2XY] =\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{1}\bigl(x+y-2xy\bigr)\,f_{X,Y}(x,y)\,dy\,dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{1}(x+y-2xy)(x+y)\,dy\,dx.

Passo 4

Expandindo e integrando em y:
(x+y-2xy)(x+y) =x^2+2xy+y^2-2x^2y-2xy^2.
Então
I(x)=\int_{0}^{1}\bigl(x^2+2xy+y^2-2x^2y-2xy^2\bigr)dy =x^2\cdot1+2x\cdot\frac12+\frac13 -2x^2\cdot\frac12-2x\cdot\frac13 =\frac{x}{3}+\frac{1}{3}.

Passo 5

Agora a integral em x:
\mathbb{E}[X+Y-2XY] =\frac{1}{3}\int_{0}^{2}\!I(x)\,dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{2}\Bigl(\frac{x}{3}+\frac13\Bigr)dx =\frac{1}{9}\int_{0}^{2}(x+1)\,dx =\frac{1}{9}\Bigl[\tfrac{x^2}{2}+x\Bigr]_{0}^{2} =\frac{4}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{9}

Exercícios de Livros Relacionados