Quando se jogam três moedas sem vício, a distribuiçāo de probabilidade do número de “caras” obtidos é binomial e tal que P(0)=P(3)=1 / 8, P(1)=P(2)=3 / 8. Três moedas desconhecidas foram lançadas cem vezes, anotando-se quantas “caras” surgiram em cada lançamento das três moedas. O resultado foi:
Número de caras Número de vezes
0 7
1 42
2 35
3 16
Ao nível de 5 \% de significância, esses resultados são compatíveis com a hipótese de que as três moedas lançadas nāo sejam viciadas?

Passo 1

O enunciado diz que lançamos três moedas “justas” (não viciadas), logo o número de caras em cada trio segue uma distribuição binomial com n=3 e p=0,5. As probabilidades teóricas são
P(0)=P(3)=\frac{1}{8},\quad P(1)=P(2)=\frac{3}{8}.
Fizeram-se 100 lançamentos e obtiveram as frequências observadas de caras em cada lançamento; queremos saber, ao nível de significância de 5\%, se esses resultados batem com a hipótese H_0 de que as moedas não são viciadas. Usaremos o teste de qui-quadrado de aderência.

Passo 2

Calcular as frequências esperadas teóricas multiplicando 100 pelas probabilidades:
E(0)=100\cdot\frac{1}{8}=12{,}5,\quad E(1)=100\cdot\frac{3}{8}=37{,}5,
E(2)=37{,}5,\quad E(3)=12{,}5.

Passo 3

Montar o estatístico de qui-quadrado
\chi^2 \;=\;\sum_{j=0}^{3}\frac{(O(j)-E(j))^2}{E(j)},
onde O(j) é a frequência observada. Calculando cada termo:
\frac{(7-12{,}5)^2}{12{,}5}=\frac{30{,}25}{12{,}5}=2{,}42, \quad \frac{(42-37{,}5)^2}{37{,}5}=\frac{20{,}25}{37{,}5}=0{,}54,
\frac{(35-37{,}5)^2}{37{,}5}=\frac{6{,}25}{37{,}5}=0{,}17, \quad \frac{(16-12{,}5)^2}{12{,}5}=\frac{12{,}25}{12{,}5}=0{,}98.
Somando, obtemos
\chi^2 =2{,}42+0{,}54+0{,}17+0{,}98=4{,}11.

Passo 4

Como não estimamos nenhum parâmetro (o p=0,5 é fornecido), o grau de liberdade é k-1=4-1=3. Para \alpha=0{,}05 e 3 graus de liberdade, o valor crítico é
\chi^2_{0{,}95,\,3}=7{,}815.
Como \chi^2=4{,}11<7{,}815, não rejeitamos H_0.

Resposta

Sim. Ao nível de 5\%, o valor de \chi^2=4{,}11 fica abaixo do crítico 7{,}815, logo os resultados são compatíveis com moedas não viciadas.

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