Mostre que
são eventos independentes se e só se
forem variáveis aleatórias independentes.
Passo 1
Resumindo, queremos mostrar que uma família de eventos
) se e só se as variáveis indicadoras
(,I_{A_i}(\omega)= ]
são independentes no sentido de variável aleatória (isto é, a distribuição conjunta fatoriza em produto das marginais).
(,I_{A_i}(\omega)=
são independentes no sentido de variável aleatória (isto é, a distribuição conjunta fatoriza em produto das marginais).
Passo 2
Lembremos a definição de independência de variáveis aleatórias binárias
: elas são independentes se, para todo vetor
,
Note que
logo
Passo 3
(“Se”): suponha que
são eventos independentes. Então vale não só
,
mas também que qualquer combinação envolvendo complementos é independente. Assim, para arbitrário,
mas também que qualquer combinação envolvendo complementos é independente. Assim, para
Por outro lado,
logo
Concluímos que
ou seja, as indicadoras são independentes.
Passo 4
(“Só se”): agora suponha que
são independentes como variáveis aleatórias. Em particular, tome o caso especial
. Então
Como isso vale para toda subfamília (podemos aplicar o mesmo raciocínio a qualquer conjunto de índices
), obtemos exatamente a definição de independência dos eventos
.
Resposta
Ficou demonstrado que