Mostre que A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} são eventos independentes se e só se I_{A_{1}}, I_{A_{2}}, \cdots, I_{A_{n}} forem variáveis aleatórias independentes.

Passo 1

Resumindo, queremos mostrar que uma família de eventos A_{1},A_{2},\dots,A_{n}\) é independente (isto é, \[P\bigl(\bigcap_{i\in I}A_i\bigr)=\prod_{i\in I}P(A_i) \quad\text{para todo }I\subseteq\{1,\dots,n\}
) se e só se as variáveis indicadoras
(,I_{A_i}(\omega)= \begin{cases}1,&\omega\in A_i,\\\ 0,&\omega\notin A_i\end{cases}]
são independentes no sentido de variável aleatória (isto é, a distribuição conjunta fatoriza em produto das marginais).

Passo 2

Lembremos a definição de independência de variáveis aleatórias binárias \,I_{A_1},\dots,I_{A_n}: elas são independentes se, para todo vetor (x_1,\dots,x_n)\in\{0,1\}^n,
P\bigl(I_{A_1}=x_1,\dots,I_{A_n}=x_n\bigr) =\prod_{i=1}^nP\bigl(I_{A_i}=x_i\bigr).
Note que
\{I_{A_i}=1\}=A_i \quad\text{e}\quad \{I_{A_i}=0\}=A_i^c,
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P\bigl(I_{A_1}=x_1,\dots,I_{A_n}=x_n\bigr) =P\Bigl(\bigcap_{i:x_i=1}A_i\;\cap\;\bigcap_{i:x_i=0}A_i^c\Bigr).

Passo 3

(“Se”): suponha que A_1,\dots,A_n são eventos independentes. Então vale não só
\;P(\bigcap_{i\in I}A_i)=\prod_{i\in I}P(A_i),
mas também que qualquer combinação envolvendo complementos é independente. Assim, para (x_1,\dots,x_n) arbitrário,
P\Bigl(\bigcap_{i:x_i=1}A_i\;\cap\;\bigcap_{i:x_i=0}A_i^c\Bigr) =\prod_{i:x_i=1}P(A_i)\;\times\;\prod_{i:x_i=0}P(A_i^c).
Por outro lado,
P\bigl(I_{A_i}=x_i\bigr) =\begin{cases}P(A_i),&x_i=1,\P(A_i^c)=1-P(A_i),&x_i=0,\end{cases}
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\prod_{i=1}^nP\bigl(I_{A_i}=x_i\bigr) =\prod_{i:x_i=1}P(A_i)\;\times\;\prod_{i:x_i=0}P(A_i^c).
Concluímos que
P\bigl(I_{A_1}=x_1,\dots,I_{A_n}=x_n\bigr) =\prod_{i=1}^nP\bigl(I_{A_i}=x_i\bigr),
ou seja, as indicadoras são independentes.

Passo 4

(“Só se”): agora suponha que I_{A_1},\dots,I_{A_n} são independentes como variáveis aleatórias. Em particular, tome o caso especial x_1=\cdots=x_n=1. Então
P\bigl(I_{A_1}=1,\dots,I_{A_n}=1\bigr) =\prod_{i=1}^nP\bigl(I_{A_i}=1\bigr) \;\Longrightarrow\; P\Bigl(\bigcap_{i=1}^nA_i\Bigr) =\prod_{i=1}^nP(A_i).
Como isso vale para toda subfamília (podemos aplicar o mesmo raciocínio a qualquer conjunto de índices I), obtemos exatamente a definição de independência dos eventos A_i.

Resposta

Ficou demonstrado que
A_{1},\dots,A_{n}\text{ independentes} \quad\Longleftrightarrow\quad I_{A_{1}},\dots,I_{A_{n}}\text{ independentes}.

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