Mostre que H não é função de distribuição conjunta.
H(x, y)= \begin{cases}1, & \text { se } \max (x, y) \geq 0 \text { ou } x^{2}+y^{2} \leq 1 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
Passo 1
O enunciado define a função
H(x,y)= \begin{cases} 1,&\text{se }\max(x,y)\ge0\text{ ou }x^2+y^2\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede para mostrar que isso não pode ser uma função de distribuição conjunta. Para isso, vamos usar a propriedade de que todo par de variáveis aleatórias com CDF F deve satisfazer a monotonicidade bidimensional, ou seja, os incrementos em retângulos são não negativos.
Passo 2
A propriedade fundamental é: para quaisquer x_1<x_2 e y_1<y_2, deve valer
Se encontrarmos um retângulo [x_1,x_2]\times[y_1,y_2] para o qual \Delta<0, isso prova que H não é CDF conjunta.
Passo 3
Escolhemos
x_1=-3,\quad x_2=2,\quad y_1=-3,\quad y_2=2.
Agora avaliamos H nos quatro vértices:
H(2,2)=1\quad(\max(2,2)\ge0),
H(-3,2)=1\quad(\max(-3,2)=2\ge0),
H(2,-3)=1\quad(\max(2,-3)=2\ge0),
H(-3,-3)=0\quad(\max(-3,-3)<0\text{ e }(-3)^2+(-3)^2=18>1).
Portanto
\Delta = 1 \;-\;1\;-\;1\;+\;0 \;=\;-1 < 0.
Resposta
Como o incremento \Delta ficou negativo, H viola a condição de monotonicidade bidimensional exigida de uma função de distribuição conjunta. Logo, H não é função de distribuição conjunta.
Probabilidade e Estatística - Marcos Nascimento Magalhães - Probabilidade e Variáveis Aleatórias - 2ª Edição - Capítulo 3.3.2 - Ex. 2