Mostre que para variáveis X e Y com variâncias finitas e positivas e quaisquer números reais a, b, c e d, com a e b não nulos, temos
\rho_{a X+b, c Y+d}= \begin{cases}-\rho_{X, Y} ; & \text { se } a c<0 \\\ \rho_{X, Y} ; & \text { se } a c>0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para variáveis aleatórias X e Y com variâncias finitas e positivas, e para quaisquer a,b,c,d\in\mathbb{R} com a\neq0 e b\neq0, vale a relação
\rho_{aX+b,\,cY+d} =\begin{cases} -\rho_{X,Y},&\text{se }a\,c<0,\\\ \phantom{-}\rho_{X,Y},&\text{se }a\,c>0. \end{cases}
O conteúdo usado será a definição de correlação
\rho_{U,V}=\frac{\Cov(U,V)}{\sqrt{\Var(U)}\,\sqrt{\Var(V)}}
e as propriedades de afinidade de covariância e variância.

Passo 2

Calculamos a covariância entre aX+b e cY+d. Usando linearidade de esperança e definição de covariância,
\Cov(aX+b,\;cY+d) = \E\bigl[(aX+b)-\E(aX+b)\bigr]\;\bigl[(cY+d)-\E(cY+d)\bigr].
Como \E(aX+b)=a\,\E(X)+b e \E(cY+d)=c\,\E(Y)+d, temos
\Cov(aX+b,\;cY+d) = a\,c\;\E\bigl[(X-\E X)(Y-\E Y)\bigr] = a\,c\;\Cov(X,Y).

Passo 3

Agora, pela propriedade de variância de variáveis afins,
\Var(aX+b)=a^{2}\,\Var(X), \qquad \Var(cY+d)=c^{2}\,\Var(Y).

Passo 4

Substituindo em \rho_{aX+b,\,cY+d},
\rho_{aX+b,\,cY+d} =\frac{\Cov(aX+b,\;cY+d)}{\sqrt{\Var(aX+b)}\,\sqrt{\Var(cY+d)}} =\frac{a\,c\,\Cov(X,Y)}{\sqrt{a^{2}\Var(X)}\,\sqrt{c^{2}\Var(Y)}}.
Como \sqrt{a^{2}}=|a| e \sqrt{c^{2}}=|c|, segue
\rho_{aX+b,\,cY+d} =\frac{a\,c}{|a|\,|c|}\;\frac{\Cov(X,Y)}{\sqrt{\Var(X)}\,\sqrt{\Var(Y)}} =\sgn(a\,c)\;\rho_{X,Y}.
Aqui \sgn(a\,c)=1 se a\,c>0 e \sgn(a\,c)=-1 se a\,c<0.

Resposta

Se a\,c>0, então \rho_{aX+b,\,cY+d}=\rho_{X,Y}.
Se a\,c<0, então \rho_{aX+b,\,cY+d}=-\rho_{X,Y}.

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