Mostre que para variáveis
e
com variâncias finitas e positivas e quaisquer números reais
e
, com
e
não nulos, temos
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para variáveis aleatórias
e
com variâncias finitas e positivas, e para quaisquer
com
e
, vale a relação
O conteúdo usado será a definição de correlação
e as propriedades de afinidade de covariância e variância.
Passo 2
Calculamos a covariância entre
e
. Usando linearidade de esperança e definição de covariância,
Como
e
, temos
Passo 3
Agora, pela propriedade de variância de variáveis afins,
Passo 4
Substituindo em
,
Como
e
, segue
Aqui
se
e
se
.
Resposta
Se
, então
.
Se , então
.
Se