Obtenha a \sigma-álgebra gerada pela classe \{\{0,1\},\{1,2\}\} se:
\Omega=\{0,1,2\}.

Passo 1

O enunciado pede a \sigma-álgebra gerada pela família
\mathcal{C} = \{\{0,1\},\,\{1,2\}\}
no espaço \Omega = \{0,1,2\}.
Conteúdo: definição de \sigma-álgebra (fechada em complemento relativo e união contável).

Passo 2

Aplicamos a operação de complemento relativo em \Omega:
(\{0,1\})^c = \{2\}, \qquad (\{1,2\})^c = \{0\}.
Logo devemos incluir \{2\} e \{0\}.

Passo 3

Aplicamos interseção para obter novos conjuntos:
\{0,1\}\,\cap\,\{1,2\} = \{1\}.
Então \{1\} também fica na \sigma-álgebra.

Passo 4

Agora já temos todas as partições em pontos simples: \{0\},\{1\},\{2\}.
Pela propriedade de união de \sigma-álgebra obtemos ainda
\{0\}\cup\{2\} = \{0,2\}.

Passo 5

Finalmente toda \sigma-álgebra deve conter \varnothing e \Omega.

Resposta

A \sigma-álgebra gerada é a família de todos os subconjuntos de \Omega, ou seja,
\sigma(\mathcal{C}) = \bigl\{\varnothing,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{1,2\},\{0,2\},\{0,1,2\}\bigr\}.

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