5 pessoas devem se sentar em 15 cadeiras colocadas em torno de uma mesa circular. De quantos modos isso pode ser feito se não deve haver ocupação simultânea de duas cadeiras adjacentes?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de sentar 5 pessoas em 15 cadeiras dispostas em círculo, de modo que não haja duas cadeiras ocupadas adjacentes. Para resolver, vamos em duas etapas:
  1. contar de quantas formas escolher 5 cadeiras sem adjacência num arranjo circular de 15 cadeiras;
  2. permutar as 5 pessoas nessas cadeiras escolhidas.

Passo 2

Conteúdo teórico: o número de maneiras de escolher k posições em um círculo de n posições sem ocupar duas adjacentes é dado pela fórmula clássica
n,n-k,binomn-kk,
Aqui temos n=15 e k=5, logo o número de escolhas de cadeiras é
1515-5binom15-55 =1510binom105

Passo 3

Calculando a combinação,
binom105=252,
então
1510times252 = 32times252 =378
Há, pois, 378 maneiras de selecionar as 5 cadeiras sem adjacência.

Passo 4

Depois de escolher as 5 cadeiras, cada uma delas receberá uma das 5 pessoas distintas. Assim, multiplicamos por todas as permutações possíveis de 5 pessoas, isto é, 5!.
378times5! = 378times120 = 45360

Resposta

45360

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