Dado um decágono, quantos são os triângulos cujos vértices são vértices não consecutivos do decágono?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um decágono com 10 vértices e queremos contar quantos triângulos podemos formar escolhendo 3 desses vértices de modo que nenhum par de vértices seja consecutivo. Esse problema cai em contagem de subconjuntos em um polígono circular sem adjacência.
Passo 2
O número total de triângulos sem qualquer restrição é dado por
Passo 3
Para contar quantos triângulos têm pelo menos um par de vértices consecutivos, procedemos assim: escolhemos qual aresta consecutiva será usada (10 opções) e depois o terceiro vértice entre os 8 restantes, o que dá
Passo 4
Desses 80 triângulos, alguns foram contados duas vezes: são aqueles formados por três vértices consecutivos. Como há exatamente 10 sequências de 3 vértices consecutivos no decágono, temos 10 sobrecontagens.
Passo 5
Aplicando inclusão–exclusão, o total de triângulos que têm pelo menos um par adjacente é
Portanto, os triângulos cujos vértices não são consecutivos são
Resposta
50