Um ponto (x, y) é escolhido ao acaso no retângulo 0 \leq x \leq a ; 0 \leq y \leq b, com a e b positivos. Determine a probabilidade (cuidado com as condições sobre a e b):
Da abcissa x ser inferior à ordenada y.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao escolher um ponto uniformemente em \{(x,y)\mid 0\le x\le a,\;0\le y\le b\}, satisfazer x<y. O conteúdo é de probabilidade geométrica, em que calculamos a razão entre a área favorável e a área total do retângulo.

Passo 2

A probabilidade desejada é
P(x<y) =\frac{\text{área de }\{(x,y)\mid 0\le x\le a,\;0\le y\le b,\;x<y\}} {\text{área total }a\,b}.áá
Dependendo da relação entre a e b, a região x<y muda de forma.

Passo 3

Suponha primeiro que a\le b.
Nesse caso, para cada x em [0,a] temos y variando de x até b. Logo a área favorável é
\int_{x=0}^{a}(b - x)\,dx = b\,a - \frac{a^2}{2}.

Passo 4

Dividindo pela área total a\,b, quando a\le b obtemos
P(x<y) =\frac{b\,a - \tfrac{a^2}{2}}{a\,b} =1 - \frac{a}{2\,b}.

Passo 5

Agora suponha que a> b.
Neste caso, a condição x<y só ocorre para x<b, e para cada x em [0,b] temos y de x até b. A área favorável é
\int_{x=0}^{b}(b - x)\,dx = \frac{b^2}{2}.

Passo 6

Dividindo pela área total a\,b, quando a>b obtemos
P(x<y) =\frac{\tfrac{b^2}{2}}{a\,b} =\frac{b}{2\,a}.

Resposta

Se a\le b então
P(x<y)=1-\frac{a}{2b}.
Se a> b então
P(x<y)=\frac{b}{2a}.

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