O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro , o coeficiente binomial central
é um número par. O tema aqui é combinatória elementar e usamos um argumento de contagem por involução sem pontos fixos para concluir divisibilidade por 2.
Passo 2
Considere o conjunto e o conjunto de todas as suas partes de tamanho . Então
Definimos a bijeção involutiva
fcolon Slongrightarrow S, f(S)=Usetminus S
Note que S e f(S) têm ambos n elementos, e f(f(S))=S. Além disso, não existe S tal que f(S)=S, pois isso exigiria
S=Usetminus S Longrightarrow Scup S=U,;Scap S=varnothing,
o que é impossível quando U tem 2n>0 elementos.
Passo 3
Como f agrupa as partes de U em pares S,f(S) de tamanho 2, segue que l|Sr| é múltiplo de 2. Ou seja,
binom2nn
é par para todo inteiro n>=1.
Resposta
Como há uma involução sem pontos fixos em S, concluímos que binom2nn é sempre par para n>=1.
Probabilidade e Estatística - Morgado - Analise Combinatória e Probabilidade - 10ª Edição - Capítulo 2.2.3 - Ex. 39