Uma comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo de 8 homens e 5 mulheres.
a) Quantas comissões podem ser formadas?
b) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitassem participar da comissão se nela estivesse determinada mulher?
a) Quantas comissões podem ser formadas?
b) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitassem participar da comissão se nela estivesse determinada mulher?
Passo 1
O enunciado pede para escolher uma comissão com 3 homens e 3 mulheres a partir de um grupo de 8 homens e 5 mulheres. Vamos usar combinatória básica para contar escolhas e, na parte (b), aplicar a ideia de exclusão de um par proibido.
Passo 2
Para a parte (a), o número de formas de escolher 3 homens entre 8 é
e o número de formas de escolher 3 mulheres entre 5 é
Logo, o total de comissões sem restrição é
Portanto, a resposta de (a) é
.
Passo 3
Na parte (b), um dos homens (digamos
) se recusa a participar se uma determinada mulher (digamos
) estiver na comissão. Queremos contar todas as comissões que não contenham o par
. Podemos usar inclusão-exclusão: número total menos número de comissões que incluem ambos.
O número de comissões que incluem tanto quanto
é obtido escolhendo os 2 homens restantes entre os outros 7 e as 2 mulheres restantes entre as outras 4:
O número de comissões que incluem tanto
logo
Subtraindo as comissões proibidas do total:
Essa é a quantidade de comissões válidas quando
recusa participar se
estiver escolhida.
Resposta
(a)
(b)
(b)