Uma comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo de 8 homens e 5 mulheres.
a) Quantas comissões podem ser formadas?
b) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitassem participar da comissão se nela estivesse determinada mulher?

Passo 1

O enunciado pede para escolher uma comissão com 3 homens e 3 mulheres a partir de um grupo de 8 homens e 5 mulheres. Vamos usar combinatória básica para contar escolhas e, na parte (b), aplicar a ideia de exclusão de um par proibido.

Passo 2

Para a parte (a), o número de formas de escolher 3 homens entre 8 é
binom83=56,
e o número de formas de escolher 3 mulheres entre 5 é
binom53=10
Logo, o total de comissões sem restrição é
binom83cdotbinom53=56cdot10=560
Portanto, a resposta de (a) é 560.

Passo 3

Na parte (b), um dos homens (digamos H) se recusa a participar se uma determinada mulher (digamos M) estiver na comissão. Queremos contar todas as comissões que não contenham o par (H,M). Podemos usar inclusão-exclusão: número total menos número de comissões que incluem ambos.
O número de comissões que incluem tanto H quanto M é obtido escolhendo os 2 homens restantes entre os outros 7 e as 2 mulheres restantes entre as outras 4:
binom72=21, binom42=6,
logo
21cdot6=126
Subtraindo as comissões proibidas do total:
560 - 126 = 434
Essa é a quantidade de comissões válidas quando H recusa participar se M estiver escolhida.

Resposta

(a) 560
(b) 434

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