Quantas são as permutações de (
) que têm exatamente 3 elementos no seu lugar primitivo?
Passo 1
O enunciado nos pede quantas permutações de
têm exatamente três elementos em seu lugar primitivo (fixos). O conteúdo envolve contagem de permutações com pontos fixos e o uso de derangements (permutations sem pontos fixos) para os elementos restantes.
Passo 2
Primeiro escolhemos quais
dos
elementos ficarão fixos. Isso pode ser feito de
maneiras, pois estamos simplesmente escolhendo um subconjunto de tamanho
dentre
.
Passo 3
Os
elementos que não foram escolhidos para ficar fixos precisam ser permutados de forma que nenhum deles fique em seu lugar original. Esses arranjos sem pontos fixos são chamados de derangements. O número de derangements de
elementos é dado por
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, combinamos a escolha dos
elementos fixos com os derangements dos
restantes. Assim, o total de permutações com exatamente
pontos fixos é