Quantas são as permutações de ( 1,2,3,4,5,6,7 ) que têm exatamente 3 elementos no seu lugar primitivo?

Passo 1

O enunciado nos pede quantas permutações de (1,2,3,4,5,6,7) têm exatamente três elementos em seu lugar primitivo (fixos). O conteúdo envolve contagem de permutações com pontos fixos e o uso de derangements (permutations sem pontos fixos) para os elementos restantes.

Passo 2

Primeiro escolhemos quais 3 dos 7 elementos ficarão fixos. Isso pode ser feito de
binom73
maneiras, pois estamos simplesmente escolhendo um subconjunto de tamanho 3 dentre 7.

Passo 3

Os 4 elementos que não foram escolhidos para ficar fixos precisam ser permutados de forma que nenhum deles fique em seu lugar original. Esses arranjos sem pontos fixos são chamados de derangements. O número de derangements de n elementos é dado por
D(n) ;=; n!sumk=0^n (-1)^kk!

Passo 4

Vamos calcular D(4):
D(4) = 4!l(1 - tfrac11! + tfrac12! - tfrac13! + tfrac14!r) = 24l(1 - 1 + tfrac12 - tfrac16 + tfrac124r) = 24 times 0,375 = 9

Passo 5

Agora, combinamos a escolha dos 3 elementos fixos com os derangements dos 4 restantes. Assim, o total de permutações com exatamente 3 pontos fixos é
binom73times D(4) ;=; 35 times 9 ;=; 315

Resposta

315

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