A quantidade de calor que é necessário para ferver dois litros de água foi medida. O experimento foi realizado dez vezes. Os resultados, em kJ, são apresentados a seguir: 656, 631, 627, 644, 661, 670, 623, 649, 651, 658.
a. Existe evidência forte para concluir que a variância nesse experimento exceda 100 ? Use \alpha=0,01.
b. Encontre o valor P para este teste.
c. Suponha que o desvio-padrão verdadeiro exceda aquele da hipótese em 50 \%. Qual a probabilidade de que isso seja detectado pelos experimentos realizados? Use \alpha=0,01.
d. Quantas medições seriam necessárias para que essa diferença mencionada no item (c) fosse detectada com a probabilidade de, pelo menos, 0,7 ? Utilize \alpha=0,01.

Passo 1

O enunciado dá dez medidas da energia (em kJ) necessária para ferver 2 L de água:
656,\;631,\;627,\;644,\;661,\;670,\;623,\;649,\;651,\;658.
Queremos testar, com nível de significância \alpha=0,01, se a variância verdadeira excede 100 (ou seja, se o desvio padrão excede 10), usando o teste qui-quadrado para variância. Também iremos calcular o valor- P do teste, depois a potência do teste quando o desvio real é 1{,}5 vezes maior, e finalmente determinar quantas medidas seriam necessárias para obter potência de pelo menos 0{,}7.

Passo 2

Primeiro calculamos a média amostral e a variância amostral. A soma das observações é
\sum_{i=1}^{10}x_i = 6470,
logo a média é
\bar x = \frac{6470}{10} = 647{,}0.
Os desvios x_i-\bar x ao quadrado somam
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)^2 = 2188,
e a variância amostral (não viesada) é
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)^2 = \frac{2188}{9} \approx 243{,}11.

Passo 3

Formulamos
H_0: \sigma^2 \le 100 \quad\text{vs.}\quad H_1: \sigma^2 > 100.
O estatístico de teste é
\chi^2 =\frac{(n-1)\,s^2}{\sigma_0^2} =\frac{9\cdot243{,}11}{100} =21{,}88,
que sob H_0 segue \chi^2_9. A região crítica de nível 0{,}01 é
\chi^2 > \chi^2_{0{,}99,\,9} =21{,}666.
Como 21{,}88>21{,}666, rejeitamos H_0 e concluímos que há evidência forte de que a variância excede 100.

Passo 4

O valor- P é
P = P\bigl(\chi^2_9 \ge 21{,}88\bigr).
Pelas tabelas ou interpolação, obtém-se aproximadamente
P \approx 0{,}0094.

Passo 5

Agora suponha que o desvio-padrão verdadeiro seja 1{,}5\times10=15, ou seja, \sigma_1^2=225. Sob essa hipótese, (n-1)S^2/225\sim\chi^2_9. O teste rejeita se
\frac{9\,S^2}{100} > 21{,}666 \;\Longleftrightarrow\; \frac{S^2}{225}\times9 > \frac{21{,}666}{2{,}25} \;\Longleftrightarrow\; \chi^2_9 > 9{,}629.
Então a potência é
1 - F_{\chi^2_9}(9{,}629) \approx 1 - 0{,}56 \approx 0{,}44.

Passo 6

Para achar o tamanho n que garanta potência de pelo menos 0{,}7 para \sigma=1{,}5\,\sigma_0, mantemos o mesmo raciocínio: rejeitamos H_0 se
\chi^2_{n-1} > \chi^2_{0{,}99,\,n-1}/2{,}25.
Queremos
1 - F_{\chi^2_{\,\nu}}\!\Bigl(\frac{\chi^2_{0{,}99,\,\nu}}{2{,}25}\Bigr) \ge 0{,}7, \quad\text{onde }\nu=n-1.
Usando valores tabelados de \chi^2_{0{,}99,\nu} e aproximando a distribuição pela normal, encontra-se que o menor \nu que atende é \nu=20, ou seja, n=21 medições.

Resposta

a. Rejeita-se H_0, pois \chi^2=21{,}88>21{,}666.
b. P\approx0{,}0094.
c. A potência é aproximadamente 0{,}44.
d. São necessárias cerca de 21 medições para obter potência de pelo menos 0{,}7.

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