A quantidade de calor que é necessário para ferver dois litros de água foi medida. O experimento foi realizado dez vezes. Os resultados, em kJ, são apresentados a seguir: 656, 631, 627, 644, 661, 670, 623, 649, 651, 658.
a. Existe evidência forte para concluir que a variância nesse experimento exceda 100 ? Use
.
b. Encontre o valor
para este teste.
c. Suponha que o desvio-padrão verdadeiro exceda aquele da hipótese em
. Qual a probabilidade de que isso seja detectado pelos experimentos realizados? Use
.
d. Quantas medições seriam necessárias para que essa diferença mencionada no item (c) fosse detectada com a probabilidade de, pelo menos, 0,7 ? Utilize
.
a. Existe evidência forte para concluir que a variância nesse experimento exceda 100 ? Use
b. Encontre o valor
c. Suponha que o desvio-padrão verdadeiro exceda aquele da hipótese em
d. Quantas medições seriam necessárias para que essa diferença mencionada no item (c) fosse detectada com a probabilidade de, pelo menos, 0,7 ? Utilize
Passo 1
O enunciado dá dez medidas da energia (em kJ) necessária para ferver
L de água:
Queremos testar, com nível de significância
, se a variância verdadeira excede
(ou seja, se o desvio padrão excede
), usando o teste qui-quadrado para variância. Também iremos calcular o valor-
do teste, depois a potência do teste quando o desvio real é
vezes maior, e finalmente determinar quantas medidas seriam necessárias para obter potência de pelo menos
.
Passo 2
Primeiro calculamos a média amostral e a variância amostral. A soma das observações é
logo a média é
Os desvios
ao quadrado somam
e a variância amostral (não viesada) é
Passo 3
Formulamos
O estatístico de teste é
que sob
segue
. A região crítica de nível
é
Como
, rejeitamos
e concluímos que há evidência forte de que a variância excede
.
Passo 4
O valor-
é
Pelas tabelas ou interpolação, obtém-se aproximadamente
Passo 5
Agora suponha que o desvio-padrão verdadeiro seja
, ou seja,
. Sob essa hipótese,
. O teste rejeita se
Então a potência é
Passo 6
Para achar o tamanho
que garanta potência de pelo menos
para
, mantemos o mesmo raciocínio: rejeitamos
se
Queremos
Usando valores tabelados de
e aproximando a distribuição pela normal, encontra-se que o menor
que atende é
, ou seja,
medições.
Resposta
a. Rejeita-se
, pois
.
b. .
c. A potência é aproximadamente .
d. São necessárias cerca de medições para obter potência de pelo menos
.
b.
c. A potência é aproximadamente
d. São necessárias cerca de