Quantos dados diferentes existem se a soma das faces opostas deve ser 7?
Passo 1
O enunciado pede para contar quantos rótulos de dados existem, obedecendo à condição de que as faces opostas somem sempre 7, considerando dois dados iguais se um girações de cubo levam um no outro. Vamos usar combinatória e o fato de que o grupo de rotações do cubo tem 24 elementos.
Passo 2
Identificamos os três pares de números que somam 7:
,
e
. Cada par deve ocupar um “eixo” de faces opostas do cubo (por exemplo, eixo vertical, eixo norte–sul e eixo leste–oeste). O número de modos de atribuir quais pares vão em quais eixos é
Passo 3
Para cada eixo escolhido, ainda restam
maneiras de colocar os elementos do par (por exemplo, escolher qual dos dois números fica na face “positiva” do eixo). Como há 3 eixos, o total de orientações internas é
Logo, o número total de rótulos que satisfazem a soma das faces opostas igual a 7 é
Passo 4
Porém muitos desses
rótulos são equivalentes por rotação do cubo. O grupo de rotações do cubo (que preserva as adjacências) tem ordem
. Cada classe de equivalência sob rotações contém exatamente
rótulos distintos, pois uma rotação diferente leva a uma orientação diferente do rótulo. Assim, o número de dados distintos é
Resposta
Existem 2 dados diferentes com faces opostas somando 7.