Quantos dados diferentes existem se a soma das faces opostas deve ser 7?

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos rótulos de dados existem, obedecendo à condição de que as faces opostas somem sempre 7, considerando dois dados iguais se um girações de cubo levam um no outro. Vamos usar combinatória e o fato de que o grupo de rotações do cubo tem 24 elementos.

Passo 2

Identificamos os três pares de números que somam 7: 1,6, 2,5 e 3,4. Cada par deve ocupar um “eixo” de faces opostas do cubo (por exemplo, eixo vertical, eixo norte–sul e eixo leste–oeste). O número de modos de atribuir quais pares vão em quais eixos é
3! = 6

Passo 3

Para cada eixo escolhido, ainda restam 2 maneiras de colocar os elementos do par (por exemplo, escolher qual dos dois números fica na face “positiva” do eixo). Como há 3 eixos, o total de orientações internas é
2^3 = 8
Logo, o número total de rótulos que satisfazem a soma das faces opostas igual a 7 é
6 times 8 = 48

Passo 4

Porém muitos desses 48 rótulos são equivalentes por rotação do cubo. O grupo de rotações do cubo (que preserva as adjacências) tem ordem 24. Cada classe de equivalência sob rotações contém exatamente 24 rótulos distintos, pois uma rotação diferente leva a uma orientação diferente do rótulo. Assim, o número de dados distintos é
4824 = 2

Resposta

Existem 2 dados diferentes com faces opostas somando 7.

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