Quantos são os
-conjuntos (isto é, subconjuntos com
elementos) de
nos quais:
a)
figura;
b)
não figura;
c)
e
figuram;
d) pelo menos um dos elementos
,
figura;
e) exatamente um dos elementos
figura.
a)
b)
c)
d) pelo menos um dos elementos
e) exatamente um dos elementos
Passo 1
O enunciado pede para contar subconjuntos de tamanho
do conjunto
sob várias condições sobre a inclusão de
e
. Para isso usamos a ideia básica de que o número de
-subconjuntos de um conjunto com
elementos é o coeficiente binomial
, e que, ao obrigar a inclusão ou exclusão de certos elementos, reduzimos o problema a escolher os restantes de um conjunto de tamanho menor.
Passo 2
(a) Para contar os
-subconjuntos que contêm
, fixamos
e escolhemos os outros
elementos dentre os
restantes. Logo o total é
Passo 3
(b) Para contar os
-subconjuntos que não contêm
, simplesmente escolhemos todos os
elementos dentre os
que não são
. Assim o número é
Passo 4
(c) Para contar os
-subconjuntos que contêm tanto
quanto
, fixamos esses dois elementos e escolhemos os
restantes entre os
outros. Portanto
Passo 5
(d) Para contar os
-subconjuntos em que figura pelo menos um de
ou
, podemos subtrair do total
os subconjuntos que não contêm nem
nem
. Esses últimos são escolhidos inteiramente entre os
demais, ou seja
. Logo
Passo 6
(e) Para contar os
-subconjuntos em que exatamente um dos elementos
figura, somamos os casos “só
” e “só
”. Cada caso exige escolher o elemento fixo e mais
dentre os
restantes, totalizando
em cada um. Portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)