Quantos são os p-conjuntos (isto é, subconjuntos com p elementos) de a1, a2, ldots, an nos quais:
a) a1 figura;
b) a1 não figura;
c) a1 e a2 figuram;
d) pelo menos um dos elementos a1, a2 figura;
e) exatamente um dos elementos a1, a2 figura.

Passo 1

O enunciado pede para contar subconjuntos de tamanho p do conjunto a1,a2,dots,an sob várias condições sobre a inclusão de a1 e a2. Para isso usamos a ideia básica de que o número de p-subconjuntos de um conjunto com n elementos é o coeficiente binomial binomnp, e que, ao obrigar a inclusão ou exclusão de certos elementos, reduzimos o problema a escolher os restantes de um conjunto de tamanho menor.

Passo 2

(a) Para contar os p-subconjuntos que contêm a1, fixamos a1 e escolhemos os outros p-1 elementos dentre os n-1 restantes. Logo o total é
binomn-1p-1

Passo 3

(b) Para contar os p-subconjuntos que não contêm a1, simplesmente escolhemos todos os p elementos dentre os n-1 que não são a1. Assim o número é
binomn-1p

Passo 4

(c) Para contar os p-subconjuntos que contêm tanto a1 quanto a2, fixamos esses dois elementos e escolhemos os p-2 restantes entre os n-2 outros. Portanto
binomn-2p-2

Passo 5

(d) Para contar os p-subconjuntos em que figura pelo menos um de a1 ou a2, podemos subtrair do total binomnp os subconjuntos que não contêm nem a1 nem a2. Esses últimos são escolhidos inteiramente entre os n-2 demais, ou seja binomn-2p. Logo
binomnp - binomn-2p

Passo 6

(e) Para contar os p-subconjuntos em que exatamente um dos elementos a1,a2 figura, somamos os casos “só a1” e “só a2”. Cada caso exige escolher o elemento fixo e mais p-1 dentre os n-2 restantes, totalizando binomn-2p-1 em cada um. Portanto
2binomn-2p-1

Resposta

(a) binomn-1p-1
(b) binomn-1p
(c) binomn-2p-2
(d) binomnp - binomn-2p
(e) 2binomn-2p-1

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