De um baralho de pôquer ( 7,8,9,10, valete, dama, rei e ás, cada um desses grupos aparecendo em 4 naipes: copas, ouros, paus, espadas), sacam-se simultaneamente 5 cartas.
a) Quantas são as extrações possíveis?
Quantas são as extrações nas quais se formam:
b) um par (duas cartas em um mesmo grupo e as outras três em três outros grupos diferentes)?
c) dois pares (duas cartas em um grupo, duas em outro grupo e uma em um terceiro grupo)?
d) uma trinca (três cartas em um grupo e as outras duas em dois outros grupos diferentes)?
e) um “four” (quatro cartas em um grupo e uma em outro grupo)?
f) um “full hand” (três cartas em um grupo e duas em outro grupo)?
g) uma sequência ( 5 cartas de grupos consecutivos, não sendo todas do mesmo naipe)?
h) um “flush” ( 5 cartas do mesmo naipe, não sendo elas de 5 grupos consecutivos)?
i) um “straight flush” ( 5 cartas de grupos consecutivos, todas do mesmo naipe)?
j) um “royal straight flush” (10, valete, dama, rei e ás de um mesmo naipe)?

Passo 1

O problema trata de contagem de mãos de pôquer extraídas de um baralho reduzido de 32 cartas (os valores 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A, cada um em quatro naipes). Vamos usar combinatória básica com o símbolo de combinação binomnk e a ideia de escolher ranks e naipes adequados para cada padrão de mão.

Passo 2

(a) Para extrair qualquer conjunto de 5 cartas de 32, basta usar
binom325,

Passo 3

(b) Para um par exato (duas cartas do mesmo rank e as outras três de ranks distintos distintos entre si e do par):
– escolha o rank do par: binom81
– escolha 2 naipes desse rank: binom42
– escolha 3 ranks distintos dos 7 restantes: binom73
– para cada um dos 3 ranks, escolha um dos 4 naipes: 4^3
Total
binom81binom42binom734^3 = 8cdot6cdot35cdot64 = 107520

Passo 4

(c) Para dois pares exatos (dois pares de ranks diferentes e um quinto card de rank diferente):
– escolha 2 ranks para os pares: binom82
– para cada par, escolha 2 naipes: binom42^2
– escolha o rank do quinto card entre os 6 restantes: binom61
– escolha um naipe para esse quinto card: binom41
Total
binom82,binom42^2,binom61,binom41 =28cdot36cdot6cdot4 = 24192

Passo 5

(d) Para uma trinca exata (três do mesmo rank e outros dois de ranks distintos):
– escolha o rank da trinca: binom81
– escolha 3 naipes desse rank: binom43
– escolha 2 ranks distintos dos 7 restantes: binom72
– para cada um desses ranks, escolha um naipe: 4^2
Total
binom81binom43binom724^2 =8cdot4cdot21cdot16 = 10752

Passo 6

(e) Para um “four” (quatro do mesmo rank e um diferente):
– escolha o rank do quartetão: binom81
– escolha os 4 naipes desse rank: binom44=1
– escolha o rank do kicker em 7 restantes: binom71
– escolha o naipe do kicker: binom41
Total
8cdot1cdot7cdot4 = 224

Passo 7

(f) Para full hand (trinca de um rank + par de outro):
– escolha o rank da trinca: binom81
– escolha 3 naipes desse rank: binom43
– escolha o rank do par nos 7 restantes: binom71
– escolha 2 naipes desse segundo rank: binom42
Total
8cdot4cdot7cdot6 = 1344

Passo 8

(g) Para sequência ( 5 ranks consecutivos, não todos do mesmo naipe):
– há 4 sequências possíveis em 8 ranks ( 7 8 9 10–J até 10–J–Q–K–A).
– para cada sequência, sem restrição de naipe, seriam 4^5 escolhas de naipe.
– mas devemos excluir os straight flushes ( 4 naipes todas iguais).
Total
4l(4^5 - 4r) = 4(1024-4) = 4cdot1020 = 4080

Passo 9

(h) Para flush ( 5 cartas do mesmo naipe, não em sequência):
– escolha o naipe: 4
– escolha 5 ranks quaisquer: binom85
– exclua as 4 sequências que dariam straight flush
Total
4l(binom85-4r) =4(56-4)=4cdot52 = 208

Passo 10

(i) Para straight flush (sequência + mesmo naipe):
4 sequências times 4 naipes
4cdot4 = 16

Passo 11

(j) Para royal straight flush ( 10–J–Q–K–A de um só naipe):
– essa é uma das 4 straight flushes (a de topo)
4

Resposta

(a) binom325 = 201376
(b) 107520
(c) 24192
(d) 10752
(e) 224
(f) 1344
(g) 4080
(h) 208
(i) 16
(j) 4

Exercícios de Livros Relacionados