15.5.2 Suponha que a característica da qualidade seja normalmente distribuída com especificações em 100 \pm 20. O desvio-padrão do processo é 6.
a. Suponha que a média do processo seja 100. Quais são os limites naturais de tolerância? Qual é a fração defeituosa? Calcule P C R e P C R_{k} e interprete essas razões.

Passo 1

O enunciado diz que a característica de qualidade segue uma distribuição normal com especificações em \,100\pm20 (ou seja, LSL=80 e USL=120) e desvio-padrão do processo \sigma=6. Na alínea (a) precisamos:
  1. Calcular os limites naturais de tolerância (ou seja, \mu\pm3\sigma);
  2. Encontrar a fração defeituosa do processo quando \mu=100;
  3. Calcular o índice de capacidade C_p;
  4. Calcular o índice de capacidade ajustado C_{pk};
  5. Interpretar esses resultados.

Passo 2

Os limites naturais de tolerância são definidos por \mu\pm3\sigma. Como \mu=100 e \sigma=6, temos:
\mu - 3\sigma = 100 - 3\cdot6 = 82,
\mu + 3\sigma = 100 + 3\cdot6 = 118.
Portanto, os limites naturais de tolerância são de 82 a 118.

Passo 3

A fração defeituosa é
P(\text{defeito}) = P(X<80) + P(X>120).
Padronizando,
Z_1 = \frac{80 - 100}{6} = -\frac{20}{6} = -\frac{10}{3}\approx -3{,}333, \quad Z_2 = \frac{120 - 100}{6} = +\frac{10}{3}\approx 3{,}333.
Como a normal é simétrica,
P(\text{defeito}) = 2\bigl[1 - \Phi(3{,}333)\bigr] \approx 2\bigl(1 - 0{,}99957\bigr) = 0{,}00086.
Logo, a fração defeituosa é aproximadamente 0{,}00086 (ou 0{,}086\%).

Passo 4

O índice de capacidade do processo C_p mede a largura da zona de especificação em relação a 6\sigma:
C_p = \frac{USL - LSL}{6\,\sigma} = \frac{120 - 80}{6\cdot6} = \frac{40}{36} \approx 1{,}11.

Passo 5

O índice de capacidade ajustado C_{pk} leva em conta o centramento do processo:
C_{pk} = \min\!\Bigl(\frac{USL - \mu}{3\sigma},\,\frac{\mu - LSL}{3\sigma}\Bigr) = \min\!\Bigl(\frac{120 - 100}{3\cdot6},\,\frac{100 - 80}{3\cdot6}\Bigr) = \frac{20}{18} \approx 1{,}11.
Como o processo está centralizado ( \mu=100 é o ponto médio das especificações), temos C_{pk}=C_p.

Passo 6

Interpretação:
  • Os limites naturais 82 a 118 ficam dentro das especificações 80 a 120, o que é bom.
  • A fração defeituosa é muito baixa \approx0{,}00086, indicando um processo com poucos defeitos.
  • Como C_p=1{,}11>1, o processo tem capacidade suficiente para atender às especificações.
  • Como C_{pk}=1{,}11, ele também está bem centralizado em relação aos limites.

Resposta

Limites naturais de tolerância: de 82 a 118.
Fração defeituosa: 0{,}00086. C_p = 1{,}11. C_{pk} = 1{,}11.

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