Suponha que
. Determine os valores de
tais que
é finita. Qual o valor da esperança nesse caso?
Passo 1
O enunciado pede a esperança da variável aleatória
elevada à potência
. Isso significa calcular
tratando adequadamente o caso em que esse integral é impróprio em
.
Passo 2
Escrevemos o integral como limite de uma integral própria: para
,
[
\int_{0}{1}xt,dx
\lim_{\varepsilon\to0+}\int_{\varepsilon}{1}x^t,dx
\lim_{\varepsilon\to0+}\left[\frac{x{t+1}}{t+1}\right]_{x=\varepsilon}^{x=1}
\lim_{\varepsilon\to0+}\frac{1-\varepsilon{,t+1}}{t+1}.
]
]
Esse limite é finito se, e só se,
, pois caso contrário
diverge ao fazermos
.
Passo 3
Para
temos
, logo
Para
, o integral diverge em
e portanto
.
Resposta
Para
,
.