Suponha que X sim U[0,1]. Determine os valores de t(t in R) tais que é finita. Qual o valor da esperança nesse caso?

Passo 1

O enunciado pede a esperança da variável aleatória El(X^tr)=integral0^1x^t,dx, elevada à potência . Isso significa calcular
tratando adequadamente o caso em que esse integral é impróprio em .

Passo 2

Escrevemos o integral como limite de uma integral própria: para integral0^1x^t,dx = limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^1x^t,dx = limvarepsilonto0^+[x^t+1t+1]x=varepsilon^x=1 = limvarepsilonto0^+1-varepsilon^,t+1t+1 ,
[
\int_{0}{1}xt,dx

\lim_{\varepsilon\to0+}\int_{\varepsilon}{1}x^t,dx

\lim_{\varepsilon\to0+}\left[\frac{x{t+1}}{t+1}\right]_{x=\varepsilon}^{x=1}

\lim_{\varepsilon\to0+}\frac{1-\varepsilon{,t+1}}{t+1}.
]
Esse limite é finito se, e só se, , pois caso contrário diverge ao fazermos .

Passo 3

Para El(X^tr) =1-0t+1 =1t+1 temos , logo
Para , o integral diverge em e portanto .

Resposta

E(X^t)=1t+1 é finita exatamente para , e neste caso
Para , .

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