Suponha que X sim U[0,1]. Determine os valores de t(t in R) tais que E(X^t) é finita. Qual o valor da esperança nesse caso?

Passo 1

O enunciado pede a esperança da variável aleatória Xsim U[0,1] elevada à potência t. Isso significa calcular
El(X^tr)=integral0^1x^t,dx,
tratando adequadamente o caso em que esse integral é impróprio em x=0.

Passo 2

Escrevemos o integral como limite de uma integral própria: para varepsilon>0,
integral0^1x^t,dx = limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^1x^t,dx = limvarepsilonto0^+[x^t+1t+1]x=varepsilon^x=1 = limvarepsilonto0^+1-varepsilon^,t+1t+1
Esse limite é finito se, e só se, t+1>0, pois caso contrário varepsilon^,t+1 diverge ao fazermos varepsilonto0^+.

Passo 3

Para t>-1 temos t+1>0, logo
El(X^tr) =1-0t+1 =1t+1
Para t<=-1, o integral diverge em 0 e portanto E(X^t)=+infty.

Resposta

E(X^t) é finita exatamente para t>-1, e neste caso
E(X^t)=1t+1
Para t<= -1, E(X^t)=+infty.

Exercícios de Livros Relacionados