Suponha que as variáveis aleatórias X, Y e Z tenham a seguinte distribuição de probabilidades conjuntas:
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y} \boldsymbol{z} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})
1 1 1 0,05
1 1 2 0,10
1 2 1 0,15
1 2 2 0,20
2 1 1 0,20
2 1 2 0,15
2 2 1 0,10
2 2 2 0,05
Determine o seguinte:
a. P(X=2)

Passo 1

O enunciado fornece a distribuição de probabilidade conjunta discreta de X,Y,Z por meio de uma tabela com todas as combinações de valores e suas probabilidades f(x,y,z). O que se pede em (a) é a probabilidade marginal
P(X=2),
ou seja, a soma das probabilidades conjuntas em que X assume o valor 2. Para isso, usaremos o conceito de marginalização em variáveis aleatórias discretas: somar f(x,y,z) sobre todas as possíveis combinações de Y e Z.

Passo 2

Escrevemos a fórmula da marginalização para X=2:
P(X=2) \;=\;\sum_{y}\sum_{z} f(2,y,z).
Na tabela, as entradas com x=2 são:
f(2,1,1)=0,20,\quad f(2,1,2)=0,15,\quad f(2,2,1)=0,10,\quad f(2,2,2)=0,05.

Passo 3

Somamos essas quatro probabilidades:
P(X=2)=0,20 + 0,15 + 0,10 + 0,05 = 0,50.

Resposta

P(X=2)=0,50.

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