Para X e Y variáveis aleatórias em ( \Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P} ), verifique que os conjuntos [X<Y],[X=Y] e [X>Y] pertencem a \sigma-álgebra \mathcal{F}.

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são variáveis aleatórias em (\Omega,\mathcal{F},\mathcal{P}). Ou seja, X\colon\Omega\to\mathbb{R} e Y\colon\Omega\to\mathbb{R} são \mathcal{F}-mensuráveis, o que significa que para qualquer conjunto de Borel B\subseteq\mathbb{R} temos
X^{-1}(B)\in\mathcal{F} \quad\text{e}\quad Y^{-1}(B)\in\mathcal{F}.
Queremos mostrar que os eventos
\{X<Y\}, \{X=Y\} e \{X>Y\} estão em \mathcal{F}.

Passo 2

Definimos a variável aleatória
Z = X - Y.
Como Y é \mathcal{F}-mensurável, também -Y é \mathcal{F}-mensurável, e soma de variáveis aleatórias mensuráveis continua mensurável. Logo
Z\colon\Omega\to\mathbb{R} \quad\text{é \(\mathcal{F}\)-mensurável.}éá

Passo 3

Para \{X<Y\} note que
\{X<Y\} =\{\omega\mid X(\omega)-Y(\omega)<0\} =\{Z<0\} =Z^{-1}\bigl((-\infty,0)\bigr).
O intervalo (-\infty,0) é boreliano em \mathbb{R}, então Z^{-1}((-\infty,0))\in\mathcal{F}. Assim \{X<Y\}\in\mathcal{F}.

Passo 4

Para \{X=Y\} temos
\{X=Y\} =\{\omega\mid X(\omega)-Y(\omega)=0\} =\{Z=0\} =Z^{-1}\bigl(\{0\}\bigr).
O singleton \{0\} é boreliano, logo Z^{-1}(\{0\})\in\mathcal{F}. Assim \{X=Y\}\in\mathcal{F}.

Passo 5

Para \{X>Y\} usamos
\{X>Y\} =\{\omega\mid X(\omega)-Y(\omega)>0\} =\{Z>0\} =Z^{-1}\bigl((0,\infty)\bigr),
e (0,\infty) é boreliano, logo Z^{-1}((0,\infty))\in\mathcal{F}. Assim \{X>Y\}\in\mathcal{F}.

Resposta

\{X<Y\},\\ \{X=Y\},\\ \{X>Y\}\in\mathcal{F}.

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