Para
e
variáveis aleatórias em (
), verifique que os conjuntos
e
pertencem a
-álgebra
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são variáveis aleatórias em
. Ou seja,
e
são
-mensuráveis, o que significa que para qualquer conjunto de Borel
temos
Queremos mostrar que os eventos
,
e
estão em
.
Passo 2
Definimos a variável aleatória
Como
é
-mensurável, também
é
-mensurável, e soma de variáveis aleatórias mensuráveis continua mensurável. Logo
Passo 3
Para
note que
O intervalo
é boreliano em
, então
. Assim
.
Passo 4
Para
temos
O singleton
é boreliano, logo
. Assim
.
Passo 5
Para
usamos
e
é boreliano, logo
. Assim
.