você tem a média amostral e o desvio padrão amostral. Assuma que a variável é normalmente distribuída e use a distribuição normal ou a distribuição t para construir um intervalo de confiança de 90 \% para a média populacional \mu. Se for conveniente, use a tecnologia para construir um intervalo de confiança.
Lixo gerado (a) Em uma amostra aleatória de 10 adultos norte–americanos, a média de lixo gerado por pessoa por dia era de 4,54 libras e o desvio padrão era de 1,21 libras. (b) Repita a parte (a) assumindo que as mesmas estatísticas vêm de uma amostra de tamanho 500. Compare os resultados. (Adoptado de U.S. Envionment Protection Agenc).

Passo 1

O enunciado fornece a média amostral \bar x e o desvio padrão amostral s para duas situações e pede o intervalo de confiança de 90\% para a média populacional \mu. O conteúdo é intervalo de confiança para \mu com s em vez de \sigma. Para isso usamos a distribuição t quando a amostra é pequena e, para amostra grande, podemos aproximar por normal.

Passo 2

A fórmula geral do intervalo de confiança de nível 1-\alpha é
\bar x \pm t_{1-\frac\alpha2,\nu}\,\frac{s}{\sqrt{n}}
quando usamos t com \nu=n-1, ou
\bar x \pm z_{1-\frac\alpha2}\,\frac{s}{\sqrt{n}}
quando \,n é grande e usamos a aproximação normal. Aqui \alpha=0{,}10, logo 1-\tfrac\alpha2=0{,}95.

Passo 3

Para (a) temos n=10, \nu=9. O quantil é t_{0{,}95,9}\approx1{,}833.
O erro-padrão é
\mathrm{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}21}{\sqrt{10}}\approx0{,}383.
O erro máximo é
\mathrm{ME}=1{,}833\times0{,}383\approx0{,}702.
Portanto o intervalo de confiança é
4{,}54\pm0{,}702 \quad\Longrightarrow\quad [\,4{,}54-0{,}702,\;4{,}54+0{,}702\,] =[\,3{,}84;\,5{,}24\,].

Passo 4

Para (b) temos n=500, \nu=499. Usamos normal com z_{0{,}95}=1{,}645.
O erro-padrão é
\mathrm{SE}=\frac{1{,}21}{\sqrt{500}}\approx0{,}0541.
O erro máximo é
\mathrm{ME}=1{,}645\times0{,}0541\approx0{,}089.
Logo
4{,}54\pm0{,}089 \quad\Longrightarrow\quad [\,4{,}54-0{,}089,\;4{,}54+0{,}089\,] =[\,4{,}45;\,4{,}63\,].

Passo 5

Comparando, o intervalo com n=500 é muito mais estreito que o com n=10, mostrando maior precisão quando a amostra é maior.

Resposta

(a) [\,3{,}84;\,5{,}24\,]
(b) [\,4{,}45;\,4{,}63\,]

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