Qual a probabilidade de escolher-se de forma aleatória, numa só tentativa, uma pessoa que tenha renda anual entre US \ 4.000 e US 7.000 sendo a renda media desta cidade US$5.000 e o desvio padrāo de USā$ 1.500$ ? Sabe-se que a renda populacional possui uma distribuiçāo Normal.
Z=\frac{x-\mu}{\sigma}

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de escolher, numa só tentativa, uma pessoa cuja renda anual x esteja entre \$4.000 e \$7.000. As informações dadas são:
\mu = \$5.000,\qquad \sigma = \$1.500,
e sabe-se que a renda populacional é normalmente distribuída. A pergunta concreta é:
\text{Qual } P(4.000 \le x \le 7.000) \text{ ?}

Passo 2

Vamos entender a ideia básica que vamos usar. A distribuição Normal é uma família de curvas em que a média \mu indica o centro e o desvio padrão \sigma indica a dispersão. Para calcular probabilidades com uma Normal qualquer X\sim N(\mu,\sigma^2) transformamos X numa variável Normal padrão Z\sim N(0,1) (média zero e desvio padrão 1) usando a fórmula do escore- z:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Explicando cada símbolo: X é a renda aleatória, \mu é a média populacional, \sigma é o desvio padrão populacional e Z é o valor padronizado. A vantagem é que para Z já temos tabelas (ou calculadora) que nos dão probabilidades do tipo P(Z\le z).

Passo 3

Padronizo o limite inferior x=4.000. Aplicando a fórmula:
z_{\text{inf}}=\frac{4.000-\mu}{\sigma}=\frac{4.000-5.000}{1.500}=\frac{-1.000}{1.500}=-\frac{2}{3}.
Em decimal isso é aproximadamente
z_{\text{inf}}\approx -0,6667.

Passo 4

Padronizo o limite superior x=7.000. Aplicando a fórmula:
z_{\text{sup}}=\frac{7.000-\mu}{\sigma}=\frac{7.000-5.000}{1.500}=\frac{2.000}{1.500}=\frac{4}{3}.
Em decimal isso é aproximadamente
z_{\text{sup}}\approx 1,3333.

Passo 5

A probabilidade desejada em termos de Z fica:
P(4.000\le X\le 7.000)=P\big(z_{\text{inf}}\le Z\le z_{\text{sup}}\big)=P(-0,6667\le Z\le 1,3333).
Usando a função de distribuição da Normal padrão \Phi(z)=P(Z\le z), temos
P(-0,6667\le Z\le 1,3333)=\Phi(1,3333)-\Phi(-0,6667).
Pela simetria da Normal padrão vale \Phi(-a)=1-\Phi(a). Então
\Phi(1,3333)-\Phi(-0,6667)=\Phi(1,3333)-\big(1-\Phi(0,6667)\big)=\Phi(1,3333)+\Phi(0,6667)-1.

Passo 6

Agora precisamos dos valores de \Phi nas posições z=1,3333 e z=0,6667. Usando uma tabela da Normal padrão (ou calculadora) e interpolando:
\Phi(1,3333)\approx 0,90879,
\Phi(0,6667)\approx 0,74715.
Substituindo em
P= \Phi(1,3333)+\Phi(0,6667)-1
obtém-se
P\approx 0,90879 + 0,74715 - 1 = 0,65594.

Passo 7

Interpretação final: a probabilidade de selecionar, ao acaso, uma pessoa cuja renda anual esteja entre \$4.000 e \$7.000 é cerca de 0,65594, ou seja aproximadamente 65{,}59\%. Vai dar bom na prova — concentra o estudo nessa padronização e leitura de tabela que é o que mais aparece!

Resposta

0,65594
65,59\%

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