Suponhamos que você faça uma aposta com um amigo seu: ganha aquele que obtiver mais caras (no seu caso) ou coroas (no caso dele) em 7 lançamentos de uma moeda. Detalhe, você “enganou” seu amigo e pegou uma moeda viciada, em que a probabilidade de ocorrer uma cara é de 0,75 . Qual a probabilidade de você ganhar?
Distribuição Binomial: p_{X}(x)=\frac{n!}{x!(n-x)!} p^{x}(1-p)^{n-x}

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de eu (que conto caras) ganhar uma aposta de 7 lançamentos de uma moeda viciada em que a probabilidade de cara é 0,75. Informações relevantes:
\text{número de lançamentos: }7úç
\text{probabilidade de cara (meu sucesso em cada lançamento): }p=0,75ç
\text{probabilidade de coroa: }1-p=0,25
Condição de vitória: ganha quem obtiver mais caras (eu) ou mais coroas (ele). Como 7 é ímpar, não há empate: eu ganho se obtiver pelo menos 4 caras. Ou seja, a pergunta é:
\text{Qual é }P(\text{nº de caras} \ge 4)\text{ em }7\text{ lançamentos?}éºç

Passo 2

Vamos usar a fórmula da distribuição que descreve o número de sucessos em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso por ensaio. A probabilidade de exatamente x sucessos é dada por:
p_X(x)=\frac{n!}{x!(n-x)!}\,p^{x}(1-p)^{n-x}
Explicando cada símbolo:
n=7\quad(\text{número total de lançamentos}),úç
x=\text{número de caras que queremos contar},ú
p=0,75\quad(\text{probabilidade de cara em cada lançamento}),ç
1-p=0,25\quad(\text{probabilidade de coroa}).
O fator \frac{n!}{x!(n-x)!} é o número de maneiras diferentes de escolher quais x lançamentos, entre os n, resultam em cara; esse número é chamado combinação e denotado por \binom{n}{x}.

Passo 3

Como eu ganho se houver 4, 5, 6 ou 7 caras, a probabilidade de ganhar é a soma das probabilidades desses casos:
P(\text{ganhar})=\sum_{x=4}^{7} \binom{7}{x} p^{x}(1-p)^{7-x}.
Para facilitar os cálculos, note que p=\tfrac{3}{4} e 1-p=\tfrac{1}{4}, logo cada termo pode ser escrito como
\binom{7}{x}\frac{3^{x}}{4^{7}}.
Assim podemos somar numeradores inteiros e depois dividir por 4^{7}.

Passo 4

Calculemos cada combinação e cada termo:
\binom{7}{4}=\frac{7!}{4!\,3!}=35,
\binom{7}{5}=\frac{7!}{5!\,2!}=21,
\binom{7}{6}=\frac{7!}{6!\,1!}=7,
\binom{7}{7}=1.
Agora cada termo em forma inteira (usando 3^{x}):
  • Para x=4:
\binom{7}{4}3^{4}=35\cdot 81=2835.
  • Para x=5:
\binom{7}{5}3^{5}=21\cdot 243=5103.
  • Para x=6:
\binom{7}{6}3^{6}=7\cdot 729=5103.
  • Para x=7:
\binom{7}{7}3^{7}=1\cdot 2187=2187.
Somando os numeradores:
2835+5103+5103+2187=15228.
O denominador comum é 4^{7}=16384. Logo
P(\text{ganhar})=\frac{15228}{16384}.

Passo 5

Simplificando a fração por 4:
\frac{15228}{16384}=\frac{3807}{4096}.
Convertendo para número decimal (útil para interpretação):
\frac{3807}{4096}\approx 0,929443359375,
ou seja, aproximadamente 92{,}944\%. Resultado intuitivo: como a moeda é fortemente enviesada para caras ( 75\%), é bastante provável que eu consiga mais caras do que coroas em 7 lançamentos.

Resposta

\dfrac{3807}{4096}
\approx 0,929443359375

Exercícios relacionados