Suponhamos que você faça uma aposta com um amigo seu: ganha aquele que obtiver mais caras (no seu caso) ou coroas (no caso dele) em 7 lançamentos de uma moeda. Detalhe, você “enganou” seu amigo e pegou uma moeda viciada, em que a probabilidade de ocorrer uma cara é de 0,75 . Qual a probabilidade de você ganhar?
Distribuição Binomial:
Distribuição Binomial:
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de eu (que conto caras) ganhar uma aposta de
lançamentos de uma moeda viciada em que a probabilidade de cara é
. Informações relevantes:
Condição de vitória: ganha quem obtiver mais caras (eu) ou mais coroas (ele). Como
é ímpar, não há empate: eu ganho se obtiver pelo menos
caras. Ou seja, a pergunta é:
Passo 2
Vamos usar a fórmula da distribuição que descreve o número de sucessos em
ensaios independentes com probabilidade
de sucesso por ensaio. A probabilidade de exatamente
sucessos é dada por:
Explicando cada símbolo:
O fator
é o número de maneiras diferentes de escolher quais
lançamentos, entre os
, resultam em cara; esse número é chamado combinação e denotado por
.
Passo 3
Como eu ganho se houver
,
,
ou
caras, a probabilidade de ganhar é a soma das probabilidades desses casos:
Para facilitar os cálculos, note que
e
, logo cada termo pode ser escrito como
Assim podemos somar numeradores inteiros e depois dividir por
.
Passo 4
Calculemos cada combinação e cada termo:
Agora cada termo em forma inteira (usando
):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando os numeradores:
O denominador comum é
. Logo
Passo 5
Simplificando a fração por
:
Convertendo para número decimal (útil para interpretação):
ou seja, aproximadamente
. Resultado intuitivo: como a moeda é fortemente enviesada para caras (
), é bastante provável que eu consiga mais caras do que coroas em
lançamentos.