As probabilidades de três máquinas falharem são, respectivamente: 2 / 3,4 / 5,7 / 10. Considere que cada uma falha uma única vez.
a) Qual a probabilidade de todas falharem?
b) Qual a probabilidade de apenas uma falhar?
c) Qual a probabilidade de nenhuma falhar?
d) Qual a probabilidade de duas falharem?

Passo 1

O enunciado dá as probabilidades de falha de três máquinas (cada uma funciona/fracassa em uma única tentativa). As informações importantes são:
p_1=\frac{2}{3},\qquad p_2=\frac{4}{5},\qquad p_3=\frac{7}{10},
onde \;p_i\; significa “probabilidade de a máquina i falhar”. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de todas falharem?
b) Qual a probabilidade de apenas uma falhar?
c) Qual a probabilidade de nenhuma falhar?
d) Qual a probabilidade de duas falharem?

Passo 2

Antes de calcular: vou usar a regra básica para eventos independentes (aqui assumimos que o comportamento de uma máquina não afeta as outras). A regra diz que, se eventos A e B são independentes, então
P(A\text{ e }B)=P(A)\cdot P(B).
Para “todas falharem” usamos a multiplicação direta das três probabilidades dadas:
P(\text{todas falham})=p_1\cdot p_2\cdot p_3.
Agora substituo os números:
P(\text{todas falham})=\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{7}{10}.
Faço as multiplicações parciais: \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}=\frac{8}{15}. Em seguida
\frac{8}{15}\cdot\frac{7}{10}=\frac{56}{150}.
Simplificando \frac{56}{150} por 2
\frac{28}{75}.
Portanto a resposta do item (a) é \frac{28}{75}.

Passo 3

Para calcular “nenhuma falhar” é mais fácil usar os complementos. Defino \;q_i\;=\;1-p_i: (a probabilidade de a máquina i NÃO falhar). Calculo cada complemento:
q_1=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3},\qquad q_2=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5},\qquad q_3=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}.
Como as máquinas são independentes, a probabilidade de nenhuma falhar é o produto:
P(\text{nenhuma falha})=q_1\cdot q_2\cdot q_3=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{10}.
Cancelei o 3 no numerador com o 3 no denominador e obtenho
P(\text{nenhuma falha})=\frac{1}{5\cdot 10}=\frac{1}{50}.
Logo o item (c) é \frac{1}{50}.

Passo 4

Agora “apenas uma falhar” significa que exatamente uma das três falha e as outras duas não. A probabilidade exata de “só a máquina 1 falha” é
p_1\cdot q_2\cdot q_3.
De forma análoga temos os três casos mutuamente exclusivos:
p_1 q_2 q_3,\qquad q_1 p_2 q_3,\qquad q_1 q_2 p_3.
A probabilidade de exatamente uma falhar é a soma desses três termos:
P(\text{exatamente 1})=p_1 q_2 q_3 + q_1 p_2 q_3 + q_1 q_2 p_3.
Substituo os valores já calculados:
p_1 q_2 q_3=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{10}=\frac{6}{150}=\frac{1}{25},
q_1 p_2 q_3=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{10}=\frac{12}{150}=\frac{2}{25},
q_1 q_2 p_3=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{7}{10}=\frac{7}{150}.
Somando (coloco tudo sobre 150 para facilitar):
\frac{6}{150}+\frac{12}{150}+\frac{7}{150}=\frac{25}{150}=\frac{1}{6}.
Portanto o item (b) é \frac{1}{6}.

Passo 5

“Duas falharem” significa exatamente duas falhas e uma não. Similar ao passo anterior, os três casos são:
p_1 p_2 q_3,\qquad p_1 q_2 p_3,\qquad q_1 p_2 p_3.
A probabilidade é a soma desses três termos:
P(\text{exatamente 2})=p_1 p_2 q_3 + p_1 q_2 p_3 + q_1 p_2 p_3.
Calculo cada termo:
p_1 p_2 q_3=\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{10}=\frac{24}{150}=\frac{4}{25},
p_1 q_2 p_3=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{7}{10}=\frac{14}{150}=\frac{7}{75},
q_1 p_2 p_3=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{7}{10}=\frac{28}{150}=\frac{14}{75}.
Somando em denominador comum 150:
\frac{24}{150}+\frac{14}{150}+\frac{28}{150}=\frac{66}{150}.
Simplificando \frac{66}{150} por 6
\frac{11}{25}.
Portanto o item (d) é \frac{11}{25}.

Passo 6

Pequeno cheque de sanidade: somando todas as possibilidades mutuamente exclusivas (nenhuma, exatamente 1, exatamente 2, todas) temos
\frac{1}{50}+\frac{1}{6}+\frac{11}{25}+\frac{28}{75}=\frac{3+25+66+56}{150}=\frac{150}{150}=1,
o que confirma que os cálculos estão consistentes. Força aí — você já tem as contas prontas para a prova!

Resposta

\dfrac{28}{75}
\dfrac{1}{6}
\dfrac{1}{50}
\dfrac{11}{25}

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