As probabilidades de três máquinas falharem são, respectivamente:
. Considere que cada uma falha uma única vez.
a) Qual a probabilidade de todas falharem?
b) Qual a probabilidade de apenas uma falhar?
c) Qual a probabilidade de nenhuma falhar?
d) Qual a probabilidade de duas falharem?
a) Qual a probabilidade de todas falharem?
b) Qual a probabilidade de apenas uma falhar?
c) Qual a probabilidade de nenhuma falhar?
d) Qual a probabilidade de duas falharem?
Passo 1
O enunciado dá as probabilidades de falha de três máquinas (cada uma funciona/fracassa em uma única tentativa). As informações importantes são:
onde
significa “probabilidade de a máquina
falhar”. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de todas falharem?
b) Qual a probabilidade de apenas uma falhar?
c) Qual a probabilidade de nenhuma falhar?
d) Qual a probabilidade de duas falharem?
a) Qual a probabilidade de todas falharem?
b) Qual a probabilidade de apenas uma falhar?
c) Qual a probabilidade de nenhuma falhar?
d) Qual a probabilidade de duas falharem?
Passo 2
Antes de calcular: vou usar a regra básica para eventos independentes (aqui assumimos que o comportamento de uma máquina não afeta as outras). A regra diz que, se eventos
e
são independentes, então
Para “todas falharem” usamos a multiplicação direta das três probabilidades dadas:
Agora substituo os números:
Faço as multiplicações parciais:
. Em seguida
Simplificando
por
dá
Portanto a resposta do item (a) é
.
Passo 3
Para calcular “nenhuma falhar” é mais fácil usar os complementos. Defino
: (a probabilidade de a máquina
NÃO falhar). Calculo cada complemento:
Como as máquinas são independentes, a probabilidade de nenhuma falhar é o produto:
Cancelei o
no numerador com o
no denominador e obtenho
Logo o item (c) é
.
Passo 4
Agora “apenas uma falhar” significa que exatamente uma das três falha e as outras duas não. A probabilidade exata de “só a máquina 1 falha” é
De forma análoga temos os três casos mutuamente exclusivos:
A probabilidade de exatamente uma falhar é a soma desses três termos:
Substituo os valores já calculados:
Somando (coloco tudo sobre
para facilitar):
Portanto o item (b) é
.
Passo 5
“Duas falharem” significa exatamente duas falhas e uma não. Similar ao passo anterior, os três casos são:
A probabilidade é a soma desses três termos:
Calculo cada termo:
Somando em denominador comum
:
Simplificando
por
dá
Portanto o item (d) é
.
Passo 6
Pequeno cheque de sanidade: somando todas as possibilidades mutuamente exclusivas (nenhuma, exatamente 1, exatamente 2, todas) temos
o que confirma que os cálculos estão consistentes. Força aí — você já tem as contas prontas para a prova!