PROBLEM 11.94
The damped motion of a vibrating particle is defined by the position vector r=x1[1-1 /(t+1)] i+(y1 e^-pi r / 2 cos 2 pi t) j. where t is expressed in seconds. For x1=30 mm and y1=20 mm, determine the position, the velocity, and the acceleration of the particle when (a) t=0, (b) t=1.5 s.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição de uma partícula vibrante com amortecimento
r(t)=x1l[1-1t+1r]i +l[y1e^-pi t/2cos(2pi t)r]j,
onde as constantes valem x1=30,mm e y1=20,mm.
Precisamos encontrar a posição r(t), a velocidade v(t)=r'(t) e a aceleração a(t)=v'(t), e então avaliar esses vetores em (a) t=0 e (b) t=1,5,s.

Passo 2

Primeiro escrevemos separadamente as componentes de r(t):
x(t)=30l[1-1t+1r](mm),
y(t)=20,e^-pi t/2cos(2pi t)(mm)
Com isso, r(t)=x(t),i+y(t),j.

Passo 3

Calculamos a velocidade por diferenciação componente a componente:
vx(t)=x'(t) =30ddtl(1-1t+1r) =301(t+1)^2 (mm/s),
vy(t)=y'(t) =20ddtl(e^-pi t/2cos(2pi t)r)
Usando a regra do produto e as derivadas ddte^-pi t/2= -tfracpi2e^-pi t/2 e ddtcos(2pi t)=-2pisin(2pi t), obtemos
vy(t) =20,e^-pi t/2!l(-tfracpi2cos(2pi t)-2pisin(2pi t)r) (mm/s)
Portanto
v(t)=30(t+1)^2,i +20,e^-pi t/2!l(-tfracpi2cos(2pi t)-2pisin(2pi t)r)j

Passo 4

Agora a aceleração a(t)=v'(t). Para vx:
ax(t)=vx'(t) =30ddt(t+1)^-2 =-60,(t+1)^-3 (mm/s^2)
Para vy, escrevemos vy=20e^-pi t/2f(t) com
f(t)=-tfracpi2cos(2pi t)-2pisin(2pi t).
Então
ay(t) =20ddtl(e^-pi t/2f(t)r) =20,e^-pi t/2l(f'(t)-tfracpi2f(t)r)
Calculando
f'(t)=pi^2sin(2pi t)-4pi^2cos(2pi t),
e
-tfracpi2f(t) =tfracpi^24cos(2pi t)+pi^2sin(2pi t),
temos
f'(t)-tfracpi2f(t) =2pi^2sin(2pi t)-15pi^24cos(2pi t)
Logo
ay(t) =20,e^-pi t/2l(2pi^2sin(2pi t)-tfrac15pi^24cos(2pi t)r) (mm/s^2)
E
a(t) =-60(t+1)^3,i +20,e^-pi t/2l(2pi^2sin(2pi t)-tfrac15pi^24cos(2pi t)r)j

Passo 5

Avaliação em t=0:
r(0) =(30[1-1]i+20cdot1cdot1,j)=(0,i+20,j) mm,
v(0) =l(301^2,i+20,[-tfracpi2cdot1-0],jr) =(30,i-10pi,j) mm/s,
a(0) =l(-601^3,i+20[-tfrac15pi^24],jr) =(-60,i-75pi^2,j) mm/s^2

Passo 6

Avaliação em t=1,5: note t+1=2,5 e 2pi t=3pi, cos(3pi)=-1, sin(3pi)=0, e e^-pi(1,5)/2=e^-3pi/4.
r(1,5) =(30[1-tfrac12,5],i +20,e^-3pi/4(-1),j) =(18,i-20e^-3pi/4,j) mm,
v(1,5) =l(302,5^2,i +20e^-3pi/4l(-tfracpi2(-1)-0r)jr) =(4,8,i+10pi e^-3pi/4,j) mm/s,
a(1,5) =l(-602,5^3,i +20e^-3pi/4,tfrac15pi^24,jr) =(-3,84,i+75pi^2 e^-3pi/4,j) mm/s^2

Resposta

(a) Em t=0:
r=(0,i+20,j) mm,
v=(30,i-10pi,j) mm/s,
a=(-60,i-75pi^2,j) mm/ s^2.
(b) Em t=1,5:
r=(18,i-20e^-3pi/4,j) mm,
v=(4,8,i+10pi e^-3pi/4,j) mm/s,
a=(-3,84,i+75pi^2 e^-3pi/4,j) mm/ s^2.

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