Problema 13 : Dada a EDO homogênea de 2^{\mathrm{a}} ordem
4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \frac{d y}{d x}+2 y=0
(a) Encontre duas soluções particulares da EDO dada.
(b) Encontre a solução geral da EDO dada.

Passo 1

O enunciado dá a EDO homogênea de 2ª ordem
4\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 4\frac{dy}{dx} + 2y = 0
e pede:
(a) encontrar duas soluções particulares da EDO dada;
(b) encontrar a solução geral da EDO dada.
Informações relevantes: a equação é linear, homogênea e tem coeficientes constantes (os coeficientes são 4, -4 e 2).

Passo 2

Idéia do método (explicação didática): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes é comum tentar uma solução da forma y=e^{\lambda x}, porque derivadas de exponenciais são proporcionais à própria exponencial, o que transforma a EDO numa equação algébrica para \lambda. Vou seguir esse procedimento: suponha
y=e^{\lambda x}. Então
\dfrac{dy}{dx}=\lambda e^{\lambda x} e \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\lambda^{2} e^{\lambda x}.
Substituindo na EDO e dividindo por e^{\lambda x} (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
4\lambda^{2}-4\lambda+2=0.

Passo 3

Resolver a equação característica (passo a passo):
A equação é uma quadrática em \lambda:
4\lambda^{2}-4\lambda+2=0.
Calculo do discriminante \Delta:
\Delta = (-4)^{2} - 4\cdot 4 \cdot 2 = 16 - 32 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Usando a fórmula quadrática:
\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{-16}}{2\cdot 4} = \frac{4 \pm 4i}{8} = \frac{1 \pm i}{2}.
Portanto as raízes são \lambda_{1}=\dfrac{1+i}{2} e \lambda_{2}=\dfrac{1-i}{2}.

Passo 4

O que fazem essas raízes para a solução? Cada raiz complexa \lambda gera uma solução complexa y=e^{\lambda x}. Em particular temos as soluções complexas
\displaystyle y_{c1}=e^{\frac{1+i}{2}x} e \displaystyle y_{c2}=e^{\frac{1-i}{2}x}.
Para obter soluções reais (porque geralmente queremos soluções reais), usamos a Fórmula de Euler:
e^{(a+ib)x}=e^{ax}(\cos(bx)+i\sin(bx)),
onde aqui a=\dfrac{1}{2} e b=\dfrac{1}{2}. Assim as partes real e imaginária de e^{\frac{1+i}{2}x} são soluções reais independentes:
y_{1}(x)=e^{\frac{x}{2}}\cos\frac{x}{2}, \qquad y_{2}(x)=e^{\frac{x}{2}}\sin\frac{x}{2}.
Estas são duas soluções reais e linearmente independentes da EDO.

Passo 5

Verificação rápida da independência linear (ideia prática): calculo do Wronskiano para garantir que y_{1} e y_{2} são independentes.
Para y_{1}=e^{ax}\cos bx e y_{2}=e^{ax}\sin bx o Wronskiano é
W(y_{1},y_{2})(x)=b\,e^{2ax}.
Aqui a=\dfrac{1}{2} e b=\dfrac{1}{2}, logo
W(y_{1},y_{2})(x)=\frac{1}{2}e^{x}\neq 0\\ \text{para todo }x.
Portanto y_{1} e y_{2} são linearmente independentes, como precisamos para formar a solução geral.

Passo 6

Construção da solução geral: como a EDO é linear, homogênea e de 2ª ordem, a solução geral é combinação linear das duas soluções independentes encontradas. Assim
y(x)=C_{1}e^{\frac{x}{2}}\cos\frac{x}{2}+C_{2}e^{\frac{x}{2}}\sin\frac{x}{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais.

Resposta

(a) y_{1}(x)=e^{\frac{x}{2}}\cos\frac{x}{2},\quad y_{2}(x)=e^{\frac{x}{2}}\sin\frac{x}{2}
(b) \displaystyle y(x)=C_{1}e^{\frac{x}{2}}\cos\frac{x}{2}+C_{2}e^{\frac{x}{2}}\sin\frac{x}{2}

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