Problema 13 : Dada a EDO homogênea de
ordem
(a) Encontre duas soluções particulares da EDO dada.
(b) Encontre a solução geral da EDO dada.
(b) Encontre a solução geral da EDO dada.
Passo 1
O enunciado dá a EDO homogênea de 2ª ordem
e pede:
(a) encontrar duas soluções particulares da EDO dada;
(b) encontrar a solução geral da EDO dada.
Informações relevantes: a equação é linear, homogênea e tem coeficientes constantes (os coeficientes são ,
e
).
(a) encontrar duas soluções particulares da EDO dada;
(b) encontrar a solução geral da EDO dada.
Informações relevantes: a equação é linear, homogênea e tem coeficientes constantes (os coeficientes são
Passo 2
Idéia do método (explicação didática): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes é comum tentar uma solução da forma
, porque derivadas de exponenciais são proporcionais à própria exponencial, o que transforma a EDO numa equação algébrica para
. Vou seguir esse procedimento: suponha
. Então
e
.
Substituindo na EDO e dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Substituindo na EDO e dividindo por
Passo 3
Resolver a equação característica (passo a passo):
A equação é uma quadrática em :
A equação é uma quadrática em
Calculo do discriminante
:
Como , as raízes são complexas conjugadas. Usando a fórmula quadrática:
Como
Portanto as raízes são
e
.
Passo 4
O que fazem essas raízes para a solução? Cada raiz complexa
gera uma solução complexa
. Em particular temos as soluções complexas
e
.
Para obter soluções reais (porque geralmente queremos soluções reais), usamos a Fórmula de Euler:
Para obter soluções reais (porque geralmente queremos soluções reais), usamos a Fórmula de Euler:
onde aqui
e
. Assim as partes real e imaginária de
são soluções reais independentes:
Estas são duas soluções reais e linearmente independentes da EDO.
Passo 5
Verificação rápida da independência linear (ideia prática): calculo do Wronskiano para garantir que
e
são independentes.
Para e
o Wronskiano é
Para
Aqui
e
, logo
Portanto
e
são linearmente independentes, como precisamos para formar a solução geral.
Passo 6
Construção da solução geral: como a EDO é linear, homogênea e de 2ª ordem, a solução geral é combinação linear das duas soluções independentes encontradas. Assim
onde
e
são constantes arbitrárias reais.
Resposta
(a)
(b)
(b)