Problema 14 : Dada a EDO homogênea de 2{ }^{\mathrm{a}} ordem
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-14 \frac{d y}{d x}+50 y=0
(a) Encontre duas soluções particulares da EDO dada.
(b) Encontre a solução geral da EDO dada.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de 2ª ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 14\frac{dy}{dx} + 50y = 0,
e pede:
(a) encontrar duas soluções particulares da EDO dada;
(b) encontrar a solução geral da EDO dada.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • É uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes de ordem 2.
  • Os coeficientes numéricos são -14 (para \frac{dy}{dx}) e 50 (para y).

Passo 2

Estratégia inicial (técnica padrão para EDOs com coeficientes constantes): tentar uma solução do tipo exponencial. Proponho
y = e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Explico por que: derivando essa função, a derivada traz um fator r e a segunda derivada traz r^{2}, então ao substituir na EDO obtemos um fator comum e^{r x} que pode ser cancelado, levando a uma equação polinomial em r (a chamada equação característica).
Calcule as derivadas:
\frac{dy}{dx} = r e^{r x},\qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = r^{2} e^{r x}.
Substituindo na EDO e cancelando e^{r x} (que nunca é zero), obtemos a equação característica
r^{2} - 14 r + 50 = 0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
r^{2} - 14 r + 50 = 0.
Usamos a fórmula quadrática r = \dfrac{14 \pm \sqrt{\Delta}}{2}, onde o discriminante é
\Delta = (-14)^{2} - 4\cdot 1\cdot 50 = 196 - 200 = -4.
Como \Delta = -4, as raízes são complexas:
r = \frac{14 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{14 \pm 2i}{2} = 7 \pm i.
Portanto as duas raízes da equação característica são r_{1} = 7 + i e r_{2} = 7 - i.

Passo 4

Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas da forma \alpha \pm i\beta (aqui \alpha = 7, \beta = 1), sabemos que
y = e^{(\alpha + i\beta)x} = e^{\alpha x}(\cos(\beta x) + i\sin(\beta x))
é uma solução complexa. As partes real e imaginária dessa solução complexa são soluções reais da EDO homogênea. Assim, duas soluções reais linearmente independentes são
y_{1}(x) = e^{7x}\cos x,\qquad y_{2}(x) = e^{7x}\sin x.
Explicação didática rápida: usar e^{(7+i)x} é conveniente porque substitui diretamente na equação característica; alternadamente, aplicar a fórmula de Euler \mathrm{e}^{i x}=\cos x + i\sin x dá as partes real e imaginária.

Passo 5

Devemos verificar (e justificar) que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes, para podermos formar a solução geral como combinação linear. Calculamos o Wronskiano W(y_{1},y_{2}).
Primeiro as derivadas (mostro passo a passo):
y_{1}(x)=e^{7x}\cos x \implies y_{1}'(x)=e^{7x}(7\cos x - \sin x).
y_{2}(x)=e^{7x}\sin x \implies y_{2}'(x)=e^{7x}(7\sin x + \cos x).
O Wronskiano é
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}' - y_{2}y_{1}'.
Substituindo:
W = e^{7x}\cos x \cdot e^{7x}(7\sin x + \cos x) - e^{7x}\sin x \cdot e^{7x}(7\cos x - \sin x).
Fatorando e^{14x}:
W = e^{14x}\big(\cos x(7\sin x + \cos x) - \sin x(7\cos x - \sin x)\big).
Desenvolvendo:
W = e^{14x}\big(7\cos x\sin x + \cos^{2}x - 7\sin x\cos x + \sin^{2}x\big) = e^{14x}(\cos^{2}x + \sin^{2}x) = e^{14x}.
Como e^{14x}\neq 0 para todo x, temos W\neq 0, logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.]

Passo 6

Conclusão: duas soluções particulares linearmente independentes são y_{1}=e^{7x}\cos x e y_{2}=e^{7x}\sin x. A solução geral da EDO homogênea (combinação linear dessas soluções) é
y(x) = C_{1}e^{7x}\cos x + C_{2}e^{7x}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais. Isso responde (a) e (b). Força aí — essa técnica de tentar e^{r x} e resolver a equação característica resolve muitas EDOs lineares com coeficientes constantes!

Resposta

(a) y_{1}(x)=e^{7x}\cos x,\quad y_{2}(x)=e^{7x}\sin x
(b) y(x)=C_{1}e^{7x}\cos x+C_{2}e^{7x}\sin x

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