Problema 13. Dados conjuntos
e
, defina a diferença simétrica de
e
, denotada
, por
Dados conjuntos
,
e
, prove que
.
Passo 1
O enunciado define, para quaisquer conjuntos
e
, a diferença simétrica
e pede para provar que ela é comutativa, isto é,
O conteúdo usado aqui são propriedades básicas de conjuntos: diferença e união, em particular a comutatividade da união.
Passo 2
Observe que, por definição,
Mas sabemos que, em geral, para quaisquer conjuntos
e
vale
Passo 3
Aplicando essa comutatividade da união aos conjuntos
e
, obtemos
Passo 4
Pelo passo anterior, o lado esquerdo é exatamente
e o lado direito é
. Logo,