Problema 13. Dados conjuntos X e Y, defina a diferença simétrica de X e Y, denotada X \Delta Y, por
X \Delta Y=(X \backslash Y) \cup(Y \backslash X)
Dados conjuntos X, Y e Z, prove que
X \triangle Y=Y \triangle X.

Passo 1

O enunciado define, para quaisquer conjuntos X e Y, a diferença simétrica
X \triangle Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X)
e pede para provar que ela é comutativa, isto é,
X \triangle Y = Y \triangle X.
O conteúdo usado aqui são propriedades básicas de conjuntos: diferença e união, em particular a comutatividade da união.

Passo 2

Observe que, por definição,
X \triangle Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X) \quad\text{e}\quad Y \triangle X = (Y \setminus X) \cup (X \setminus Y).
Mas sabemos que, em geral, para quaisquer conjuntos A e B vale
A \cup B = B \cup A.

Passo 3

Aplicando essa comutatividade da união aos conjuntos A = X \setminus Y e B = Y \setminus X, obtemos
(X \setminus Y) \cup (Y \setminus X) = (Y \setminus X) \cup (X \setminus Y).

Passo 4

Pelo passo anterior, o lado esquerdo é exatamente X \triangle Y e o lado direito é Y \triangle X. Logo,
X \triangle Y = Y \triangle X.

Resposta

X \triangle Y = Y \triangle X.

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