Problema 13
(a) Mostre que, se uma partícula descreve uma órbita circular sob a ação de uma força central atrativa dirigida para um ponto situado sobre a própria circunferência, então a força varia com o inverso da quinta potência da distância.
(b) Mostre que, para a órbita descrita, a energia total da partícula é nula.
(c) Determine o período do movimento.
(d) Determine
e
em função do ângulo ao longo da circunferência e mostre que as três grandezas se tornam infinitas no instante em que a partícula passa pelo centro de força.
(b) Mostre que, para a órbita descrita, a energia total da partícula é nula.
(c) Determine o período do movimento.
(d) Determine
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas (todas relativas ao mesmo movimento):
(a) mostrar como a força central depende da distância quando a partícula descreve uma órbita circular e o ponto de atração está situado sobre essa circunferência;
(b) mostrar que a energia total é nula;
(c) determinar o período do movimento;
(d) obter e
em função do ângulo ao longo da circunferência e mostrar que essas grandezas tendem ao infinito quando a partícula passa pelo centro de força.
(a) mostrar como a força central depende da distância
(b) mostrar que a energia total é nula;
(c) determinar o período do movimento;
(d) obter
Informações e convenções que vou usar (todas dadas/implícitas no enunciado ou escolhas naturais):
- A partícula descreve uma circunferência de raio
. Denotar por o centro dessa circunferência. - O ponto de atração (centro da força) é um ponto fixo
que está situado sobre a própria circunferência (logo a distância de a vale ). Vou colocar na origem do sistema de coordenadas e no ponto para simplificar. - Chamar
o ângulo do ponto material medido a partir da linha em torno do centro (isto é, é o ângulo que localiza a partícula na circunferência de centro ). Assim a posição da partícula em coordenadas cartesianas (referidas a ) será expressa em função de . - A força é central em relação a
; isto é, a força em cada instante tem direção radial relativa a e módulo , onde é a distância partícula– . -
é a massa da partícula. Não se conhece a priori a forma de ; é isso que queremos determinar.
Passo 2
Parametrização geométrica (posição e distância
à fonte
).
Posição da partícula (referida ao ponto
na origem), usando o centro da circunferência
e o ângulo
em torno de
:
Explicando: a coordenada do ponto na circunferência de centro
é
, e subtraindo a posição de
(a origem) fica
,
.
A distância
da partícula ao ponto
é o módulo do vetor
. Calcula-se usando identidade trigonométrica:
Aqui usei
para obter a forma simplificada
. Observação: quando
temos
(a partícula passa por
).
Passo 3
Velocidade e aceleração em termos de
. Vou derivar passo a passo (ensino prático de diferenciação temporal):
A derivada temporal das coordenadas dá as velocidades:
Isto vem de
e
, idem para
.
A velocidade escalar (módulo) é
Portanto
com sinal apropriado. Esse passo é útil: o módulo da velocidade ao mover-se em uma circunferência de raio
e parâmetro angular
em torno de
é
.
Agora as componentes da aceleração (derivando
em relação ao tempo):
Mostrei cada termo: produto e cadeia — por exemplo
.
Passo 4
Condição para a força ser central (para
): a força (logo a aceleração
) tem de ser sempre paralela ao vetor posição
relativo a
. Matematicamente, isso significa que o vetor aceleração é paralelo a
, ou seja, o determinante/componente transversal deve ser zero:
Vou calcular esse determinante usando as expressões de
.
Substituindo
,
e as
obtidas no passo anterior e simplificando (mostro os termos principais):
Fazendo a álgebra (coletando termos em
e
) chega-se a uma equação simples:
Como
e não queremos identicamente anular a órbita, a condição relevante é
Isto é uma equação diferencial que relaciona
e
. Essa equação garante que a aceleração seja sempre na direção
, i.e., que a força seja central para
.
Passo 5
Resolver a equação diferencial para
.
Reescrevendo a equação:
Divido por
(quando
) e uso
via
. Assim:
Integramos em
:
Fazer a substituição
,
dá
Logo
onde
é uma constante de integração (determinado por condições iniciais). Exponenciando:
Também útil a forma usando a identidade de meia-ângulo
, que dá
Passo 6
Parte (a): deduzir a lei da força
.
Primeiro obtenha a componente radial da aceleração (direcionada para
). O produto escalar
vale (substituindo as expressões e simplificando usando a equação do passo 4) o valor
Isso foi obtido substituindo explicitamente e eliminando
com a relação do passo 4 — a conta simplifica muito e resulta em um termo independente de
.
A componente radial da aceleração (no sentido de
) é
. Assim
sendo o sinal negativo porque a aceleração tem direção para
.
A força central (vector radial) é
. O módulo da força é, então,
Agora substituir
em função de
. Usamos a relação entre
e
do passo 2:
, e a expressão obtida para
:
Logo
Substituindo em
:
Portanto concluímos que a força depende da distância como o inverso da quinta potência:
Isto resolve a parte (a):
.
Passo 7
Parte (b): energia total da partícula.
A energia cinética é
Usando
obtém-se
A força radial é
com
(sinal negativo indicando atração). A energia potencial associada, escolhendo
, é
Substituindo
dá
Somando as energias:
Portanto, com a convenção
, a energia total é nula:
Passo 8
Parte (c): período do movimento.
Usar
para encontrar o tempo necessário para
variar de
a
(uma volta completa em torno de
). Escrevemos
Integrando ao longo de uma volta:
A integral de
sobre
a
é zero, ficando apenas
. Assim
Se quiser expressar
em termos do parâmetro da força
(ou seja, em termos de
e a constante do potencial), recorde
. Assim
Passo 9
Parte (d): expressões de
e
em função do ângulo
e comportamento quando a partícula passa por
.
Usando as fórmulas obtidas:
Substituindo
obtemos as formas explícitas
Também podem ser escritas em termos de meia-ângulo usando
e
; por exemplo
Observação sobre divergência: quando a partícula passa por
temos
, o que ocorre para
(veja
). Para
temos
, portanto
e, pela fórmulas acima,
. Assim as três grandezas tornam-se infinitas no instante em que a partícula passa pelo centro de força
.
Resposta
(a)
(ou, em termos gerais,
).
(b) .
(c) (ou, usando
,
).
(d) . Essas três grandezas divergem quando
(quando a partícula passa por
).
(b)
(c)
(d)