Problema 13

(a) Mostre que, se uma partícula descreve uma órbita circular sob a ação de uma força central atrativa dirigida para um ponto situado sobre a própria circunferência, então a força varia com o inverso da quinta potência da distância.
(b) Mostre que, para a órbita descrita, a energia total da partícula é nula.
(c) Determine o período do movimento.
(d) Determine \dot{x}, \dot{y} e v em função do ângulo ao longo da circunferência e mostre que as três grandezas se tornam infinitas no instante em que a partícula passa pelo centro de força.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas (todas relativas ao mesmo movimento):
(a) mostrar como a força central depende da distância r quando a partícula descreve uma órbita circular e o ponto de atração está situado sobre essa circunferência;
(b) mostrar que a energia total é nula;
(c) determinar o período do movimento;
(d) obter \dot{x},\dot{y} e v em função do ângulo ao longo da circunferência e mostrar que essas grandezas tendem ao infinito quando a partícula passa pelo centro de força.
Informações e convenções que vou usar (todas dadas/implícitas no enunciado ou escolhas naturais):
  • A partícula descreve uma circunferência de raio R. Denotar por O o centro dessa circunferência.
  • O ponto de atração (centro da força) é um ponto fixo S que está situado sobre a própria circunferência (logo a distância de O a S vale R). Vou colocar S na origem do sistema de coordenadas e O no ponto (R,0) para simplificar.
  • Chamar \varphi o ângulo do ponto material medido a partir da linha OS em torno do centro O (isto é, \varphi é o ângulo que localiza a partícula na circunferência de centro O). Assim a posição da partícula em coordenadas cartesianas (referidas a S) será expressa em função de \varphi.
  • A força é central em relação a S; isto é, a força em cada instante tem direção radial relativa a S e módulo F(r), onde r é a distância partícula– S.
  • m é a massa da partícula. Não se conhece a priori a forma de F(r); é isso que queremos determinar.

Passo 2

Parametrização geométrica (posição e distância r à fonte S).
Posição da partícula (referida ao ponto S na origem), usando o centro da circunferência O=(R,0) e o ângulo \varphi em torno de O:
x(\varphi)=R(1+\cos\varphi),\qquad y(\varphi)=R\sin\varphi.
Explicando: a coordenada do ponto na circunferência de centro O é O + R(\cos\varphi,\sin\varphi), e subtraindo a posição de S (a origem) fica x=R+R\cos\varphi, y=R\sin\varphi.
A distância r da partícula ao ponto S é o módulo do vetor (x,y). Calcula-se usando identidade trigonométrica:
r(\varphi)=\sqrt{[R(1+\cos\varphi)]^{2}+[R\sin\varphi]^{2}} =R\sqrt{2+2\cos\varphi}=2R\cos\!\left(\tfrac{\varphi}{2}\right).
Aqui usei 1+\cos\varphi=2\cos^{2}(\varphi/2) para obter a forma simplificada r=2R\cos(\varphi/2). Observação: quando \varphi=\pi temos r=0 (a partícula passa por S).

Passo 3

Velocidade e aceleração em termos de \varphi(t). Vou derivar passo a passo (ensino prático de diferenciação temporal):
A derivada temporal das coordenadas dá as velocidades:
\dot{x}(\varphi,\dot\varphi)=-R\sin\varphi\;\dot\varphi,\qquad \dot{y}(\varphi,\dot\varphi)=R\cos\varphi\;\dot\varphi.
Isto vem de \dot{x}=\dfrac{dx}{d\varphi}\dot\varphi e \dfrac{dx}{d\varphi}=-R\sin\varphi, idem para y.
A velocidade escalar (módulo) é
v=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}} =R\sqrt{\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi}\;|\dot\varphi| =R|\dot\varphi|.
Portanto v=R\dot\varphi com sinal apropriado. Esse passo é útil: o módulo da velocidade ao mover-se em uma circunferência de raio R e parâmetro angular \varphi em torno de O é R\dot\varphi.
Agora as componentes da aceleração (derivando \dot{x},\dot{y} em relação ao tempo):
\ddot{x}=R(-\cos\varphi\;\dot\varphi^{2}-\sin\varphi\;\ddot\varphi), \qquad \ddot{y}=R(-\sin\varphi\;\dot\varphi^{2}+\cos\varphi\;\ddot\varphi).
Mostrei cada termo: produto e cadeia — por exemplo \ddot{x} = \frac{d}{dt}(-R\sin\varphi\,\dot\varphi) = -R(\cos\varphi\,\dot\varphi\,\dot\varphi + \sin\varphi\,\ddot\varphi).

Passo 4

Condição para a força ser central (para S): a força (logo a aceleração \mathbf{a}) tem de ser sempre paralela ao vetor posição \mathbf{r}=(x,y) relativo a S. Matematicamente, isso significa que o vetor aceleração é paralelo a \mathbf{r}, ou seja, o determinante/componente transversal deve ser zero:
x\ddot{y}-y\ddot{x}=0.
Vou calcular esse determinante usando as expressões de x,y,\ddot{x},\ddot{y}.
Substituindo x=R(1+\cos\varphi), y=R\sin\varphi e as \ddot{} obtidas no passo anterior e simplificando (mostro os termos principais):
x\ddot{y}-y\ddot{x} =R^{2}\big[(1+\cos\varphi)(-\sin\varphi\,\dot\varphi^{2}+\cos\varphi\,\ddot\varphi) - \sin\varphi(-\cos\varphi\,\dot\varphi^{2}-\sin\varphi\,\ddot\varphi)\big].
Fazendo a álgebra (coletando termos em \dot\varphi^{2} e \ddot\varphi) chega-se a uma equação simples:
R^{2}\Big[(1+\cos\varphi)\ddot\varphi-\sin\varphi\,\dot\varphi^{2}\Big]=0.
Como R\neq0 e não queremos identicamente anular a órbita, a condição relevante é
(1+\cos\varphi)\ddot\varphi-\sin\varphi\,\dot\varphi^{2}=0.
Isto é uma equação diferencial que relaciona \dot\varphi e \varphi. Essa equação garante que a aceleração seja sempre na direção \mathbf{r}, i.e., que a força seja central para S.

Passo 5

Resolver a equação diferencial para \dot\varphi.
Reescrevendo a equação:
(1+\cos\varphi)\ddot\varphi=\sin\varphi\,\dot\varphi^{2}.
Divido por \dot\varphi^{2} (quando \dot\varphi\neq0) e uso \dfrac{\ddot\varphi}{\dot\varphi^{2}}=\dfrac{d}{dt}(\ln\dot\varphi)/\dot\varphi = \dfrac{d}{d\varphi}(\ln\dot\varphi) via d/dt =\dot\varphi\,d/d\varphi. Assim:
\frac{d}{d\varphi}(\ln\dot\varphi)=\frac{\sin\varphi}{1+\cos\varphi}.
Integramos em \varphi:
\ln\dot\varphi=\int\frac{\sin\varphi}{1+\cos\varphi}\,d\varphi.
Fazer a substituição u=1+\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi
\int\frac{\sin\varphi}{1+\cos\varphi}\,d\varphi=-\int\frac{du}{u}=-\ln(1+\cos\varphi)+\text{const}.
Logo
\ln\dot\varphi=-\ln(1+\cos\varphi)+\ln k
onde k>0 é uma constante de integração (determinado por condições iniciais). Exponenciando:
\boxed{\dot\varphi=\dfrac{k}{1+\cos\varphi}.}
Também útil a forma usando a identidade de meia-ângulo 1+\cos\varphi=2\cos^{2}(\varphi/2), que dá
\dot\varphi=\dfrac{k}{2\cos^{2}(\varphi/2)}=\dfrac{k}{2}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\tfrac{\varphi}{2}\right).

Passo 6

Parte (a): deduzir a lei da força F(r).
Primeiro obtenha a componente radial da aceleração (direcionada para S). O produto escalar \mathbf{r}\cdot\mathbf{a}=x\ddot{x}+y\ddot{y} vale (substituindo as expressões e simplificando usando a equação do passo 4) o valor
\mathbf{r}\cdot\mathbf{a}=-2R^{2}\dot\varphi^{2}.
Isso foi obtido substituindo explicitamente e eliminando \ddot\varphi com a relação do passo 4 — a conta simplifica muito e resulta em um termo independente de \varphi.
A componente radial da aceleração (no sentido de S) é a_{r}=(\mathbf{r}\cdot\mathbf{a})/r. Assim
a_{r}=-\dfrac{2R^{2}\dot\varphi^{2}}{r},
sendo o sinal negativo porque a aceleração tem direção para S.
A força central (vector radial) é \mathbf{F}=m\mathbf{a}=-m\,\dfrac{2R^{2}\dot\varphi^{2}}{r}\,\hat{\mathbf{r}}. O módulo da força é, então,
F(r)=m\,\dfrac{2R^{2}\dot\varphi^{2}}{r}.
Agora substituir \dot\varphi em função de r. Usamos a relação entre r e \varphi do passo 2: r=2R\cos(\varphi/2), e a expressão obtida para \dot\varphi:
1+\cos\varphi=2\cos^{2}(\varphi/2)=\frac{r^{2}}{2R^{2}}.
Logo
\dot\varphi=\dfrac{k}{1+\cos\varphi}=\dfrac{2kR^{2}}{r^{2}}.
Substituindo em F(r):
F(r)=m\,\dfrac{2R^{2}}{r}\left(\dfrac{2kR^{2}}{r^{2}}\right)^{2} = m\,\dfrac{2R^{2}}{r}\cdot \dfrac{4k^{2}R^{4}}{r^{4}} = \dfrac{8 m k^{2} R^{6}}{r^{5}}.
Portanto concluímos que a força depende da distância como o inverso da quinta potência:
\boxed{F(r)=\dfrac{C}{r^{5}}\quad\text{com}\quad C=8 m k^{2} R^{6}.}
Isto resolve a parte (a): F\propto r^{-5}.

Passo 7

Parte (b): energia total da partícula.
A energia cinética é
T=\tfrac{1}{2}m v^{2}=\tfrac{1}{2}m(R\dot\varphi)^{2} =\tfrac{1}{2}mR^{2}\dot\varphi^{2}.
Usando \dot\varphi=(2kR^{2})/r^{2} obtém-se
T=\tfrac{1}{2}mR^{2}\left(\dfrac{2kR^{2}}{r^{2}}\right)^{2} =\tfrac{1}{2}mR^{2}\dfrac{4k^{2}R^{4}}{r^{4}} =\dfrac{2m k^{2} R^{6}}{r^{4}}.
A força radial é F(r)=-A/r^{5} com A:=8 m k^{2} R^{6} (sinal negativo indicando atração). A energia potencial associada, escolhendo U(\infty)=0, é
U(r)=-\int_{\infty}^{r}\!F(s)\,ds=-\int_{\infty}^{r}\!\left(-\dfrac{A}{s^{5}}\right)ds =-\frac{A}{4r^{4}}.
Substituindo A
U(r)=-\frac{8 m k^{2} R^{6}}{4 r^{4}}=-\dfrac{2m k^{2} R^{6}}{r^{4}}.
Somando as energias:
E=T+U=\dfrac{2m k^{2} R^{6}}{r^{4}}-\dfrac{2m k^{2} R^{6}}{r^{4}}=0.
Portanto, com a convenção U(\infty)=0, a energia total é nula:
\boxed{E=0.}

Passo 8

Parte (c): período do movimento.
Usar \dot\varphi=\dfrac{k}{1+\cos\varphi} para encontrar o tempo necessário para \varphi variar de 0 a 2\pi (uma volta completa em torno de O). Escrevemos
dt=\dfrac{1+\cos\varphi}{k}\,d\varphi.
Integrando ao longo de uma volta:
T=\int_{0}^{2\pi}\!dt=\dfrac{1}{k}\int_{0}^{2\pi}\!(1+\cos\varphi)\,d\varphi =\dfrac{1}{k}\Big[\varphi+\sin\varphi\Big]_{0}^{2\pi} =\dfrac{1}{k}\,2\pi.
A integral de \cos\varphi sobre 0 a 2\pi é zero, ficando apenas 2\pi/k. Assim
\boxed{T=\dfrac{2\pi}{k}.}
Se quiser expressar k em termos do parâmetro da força A (ou seja, em termos de m,R e a constante do potencial), recorde A=8m k^{2}R^{6}. Assim
k=\sqrt{\dfrac{A}{8mR^{6}}} \quad\Rightarrow\quad T=2\pi\sqrt{\dfrac{8mR^{6}}{A}}.

Passo 9

Parte (d): expressões de \dot{x},\dot{y} e v em função do ângulo \varphi e comportamento quando a partícula passa por S.
Usando as fórmulas obtidas:
\dot{x}=-R\sin\varphi\;\dot\varphi,\qquad \dot{y}=R\cos\varphi\;\dot\varphi,\qquad v=R\dot\varphi.
Substituindo \dot\varphi=\dfrac{k}{1+\cos\varphi} obtemos as formas explícitas
\boxed{\dot{x}(\varphi)=-\dfrac{kR\sin\varphi}{1+\cos\varphi},\qquad \dot{y}(\varphi)=\dfrac{kR\cos\varphi}{1+\cos\varphi},\qquad v(\varphi)=\dfrac{kR}{1+\cos\varphi}.}
Também podem ser escritas em termos de meia-ângulo usando 1+\cos\varphi=2\cos^{2}(\varphi/2) e \sin\varphi=2\sin(\varphi/2)\cos(\varphi/2); por exemplo
\dot{x}=-kR\tan\!\left(\tfrac{\varphi}{2}\right),\qquad v=\dfrac{kR}{2\cos^{2}(\varphi/2)}.
Observação sobre divergência: quando a partícula passa por S temos r=0, o que ocorre para \varphi=\pi (veja r=2R\cos(\varphi/2)). Para \varphi\to\pi temos 1+\cos\varphi\to0, portanto \dot\varphi\to\infty e, pela fórmulas acima, \dot{x},\dot{y},v\to\infty. Assim as três grandezas tornam-se infinitas no instante em que a partícula passa pelo centro de força S.

Resposta

(a) F(r)=\dfrac{8 m k^{2} R^{6}}{r^{5}} (ou, em termos gerais, F\propto r^{-5}).
(b) E=0.
(c) T=\dfrac{2\pi}{k} (ou, usando A=8m k^{2}R^{6}, T=2\pi\sqrt{\dfrac{8mR^{6}}{A}}).
(d) \dot{x}(\varphi)=-\dfrac{kR\sin\varphi}{1+\cos\varphi},\\ \dot{y}(\varphi)=\dfrac{kR\cos\varphi}{1+\cos\varphi},\\ v(\varphi)=\dfrac{kR}{1+\cos\varphi}. Essas três grandezas divergem quando \varphi=\pi (quando a partícula passa por S).

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