Problema 21
Mostre que o movimento de uma partícula no campo de potencial
é o mesmo que o movimento sob o potencial de Kepler isolado, quando expresso em um sistema de coordenadas que gira (precessiona) em torno do centro de força.
Para energia total negativa, mostre que, se o termo adicional de potencial for muito pequeno em comparação com o potencial de Kepler, então a velocidade angular de precessão da órbita elíptica é
Passo 1
O enunciado nos dá o potencial central
e pede duas coisas:
-
Mostrar que o movimento da partícula nesse potencial é o mesmo que o movimento do problema de Kepler (potencial
) quando expresso em um sistema de coordenadas que gira em torno do centro de forças (ou seja: existe uma transformação angular que leva a equação do problema dado para a equação de Kepler). -
Para energia total negativa e assumindo que o termo adicional
é muito pequeno em relação ao termo de Kepler, mostrar que a velocidade angular de precessão da órbita elíptica é
onde
é a massa da partícula,
é o momento angular conservado e
é o período radial (período da oscilação de
, isto é, o tempo entre duas passagens sucessivas pelo periélio).
Informações relevantes dadas ou que usaremos:
- Movimento em plano (força central) → coordenadas polares
. - Momento angular conservado:
(constante). - Força central relacionada ao potencial por
. - Vamos precisar da equação de Binet (equação para
com ) para comparar com a equação de Kepler.
Passo 2
Vamos montar as equações básicas e derivar a equação de Binet, explicando cada passo.
- Conservação do momento angular: pelas coordenadas polares e simetria central,
onde
é constante,
é a massa,
é a distância radial e
.
- Introduzimos
. Queremos uma equação para em função de . Usamos as derivadas por tempo com mudança de variável para :
Primeiro, calcule
em função de derivadas em
. Como
,
Mas
(pela conservação do momento angular). Substituindo,
Agora diferenciamos
em relação ao tempo para obter
:
Por outro lado,
Subtraindo,
A segunda lei de Newton na direção radial é
, onde
é a força radial (positiva se apontar para fora). Portanto obtemos a forma padrão da equação de Binet:
Aqui explicando variáveis:
-
. -
é a força radial. -
é o momento angular conservado.
Passo 3
Agora aplicamos a equação de Binet ao potencial dado. Primeiro calculamos a força:
Dado
, temos
logo
Em termos de
, isto é
Substituímos na equação de Binet:
Reorganizando os termos que contêm
,
Definimos para simplificar o coeficiente angular
A equação fica
Passo 4
Fazemos a mudança de variável angular
Observação:
é uma nova coordenada angular; esta mudança corresponde a “reparametrizar” o ângulo, i.e., olhar a órbita em um referencial cuja linha de referência gira em relação a
.
Como
e
, a equação para
torna-se
ou seja
Essa é exatamente a equação de Binet do problema de Kepler (potencial
), escrita com a variável angular
; a única diferença é o fator constante à direita, que apenas muda os parâmetros da conica (excentricidade, semi-eixo) mas não a forma estrutural da equação. Conclusão importante:
- Em termos do ângulo
, a função satisfaz a equação de Kepler; portanto a dependência radial é a mesma que a de um movimento de Kepler puro (conicas: elipse se energia negativa), ou seja, a trajetória geométrica vista na coordenada é uma conica kepleriana.
Isso mostra que o movimento no potencial dado é equivalente ao movimento de Kepler quando expresso em um sistema de coordenadas que gira (a transformação
é essa rotação/distorção angular).
Passo 5
Interpretação angular: periodicidade e precessão.
Para o problema de Kepler padrão em variável
, o raio
(ou
) é periódico com período
em
: depois de
a partícula retorna ao mesmo ponto radial (por exemplo, passa novamente pelo periélio). Em termos do ângulo físico
isso significa que, após um ciclo radial completo,
Mas um giro completo de
em
corresponde à volta fixa no espaço; se
então o periélio não volta à mesma direção no referencial inercial: ele avança (ou retrocede) em relação a um sistema fixo. O avanço do periélio por revolução (ângulo de precessão por oscilação radial) é
Isso já dá a precessão por revolução. Agora vamos ao pedido do enunciado: obter a velocidade angular média de precessão
para energia negativa no caso
pequeno.
Passo 6
Aproximação para
pequeno.
Definimos o parâmetro pequeno
de tal forma que
. Para
(i.e.
muito pequeno comparado ao termo kepleriano na escala de
) podemos expandir em série de Taylor:
ao primeiro ordem em
. Então
Substituímos isso na expressão da precessão por revolução:
A velocidade angular média de precessão (i.e. precessão por unidade de tempo) é essa precessão por revolução dividida pelo tempo de uma revolução radial, que é o período
(tempo entre passagens sucessivas pelo periélio). Então
o que era pedido.
Resposta
O movimento é equivalente ao de Kepler na coordenada angular
com
.