Problema 21

Mostre que o movimento de uma partícula no campo de potencial
V(r)=-\frac{k}{r}+\frac{h}{r^{2}}
é o mesmo que o movimento sob o potencial de Kepler isolado, quando expresso em um sistema de coordenadas que gira (precessiona) em torno do centro de força.
Para energia total negativa, mostre que, se o termo adicional de potencial for muito pequeno em comparação com o potencial de Kepler, então a velocidade angular de precessão da órbita elíptica é
\dot{\Omega}=\frac{2 \pi m h}{l^{2} \tau}

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial central
V(r)=-\frac{k}{r}+\frac{h}{r^{2}}
e pede duas coisas:
  1. Mostrar que o movimento da partícula nesse potencial é o mesmo que o movimento do problema de Kepler (potencial -k/r) quando expresso em um sistema de coordenadas que gira em torno do centro de forças (ou seja: existe uma transformação angular que leva a equação do problema dado para a equação de Kepler).
  2. Para energia total negativa e assumindo que o termo adicional \dfrac{h}{r^{2}} é muito pequeno em relação ao termo de Kepler, mostrar que a velocidade angular de precessão da órbita elíptica é
\dot{\Omega}=\frac{2\pi m h}{l^{2}\tau},
onde m é a massa da partícula, l é o momento angular conservado e \tau é o período radial (período da oscilação de r, isto é, o tempo entre duas passagens sucessivas pelo periélio).
Informações relevantes dadas ou que usaremos:
  • Movimento em plano (força central) → coordenadas polares (r,\theta).
  • Momento angular conservado: l=m r^{2}\dot{\theta} (constante).
  • Força central relacionada ao potencial por F(r)=-\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}.
  • Vamos precisar da equação de Binet (equação para u(\theta) com u\equiv 1/r) para comparar com a equação de Kepler.

Passo 2

Vamos montar as equações básicas e derivar a equação de Binet, explicando cada passo.
  1. Conservação do momento angular: pelas coordenadas polares e simetria central,
l = m r^{2}\dot{\theta},
onde l é constante, m é a massa, r é a distância radial e \dot{\theta}=\mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t.
  1. Introduzimos u(\theta)\equiv 1/r. Queremos uma equação para u em função de \theta. Usamos as derivadas por tempo com mudança de variável para \theta:
Primeiro, calcule \dot r em função de derivadas em \theta. Como r=1/u,
\dot r=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\!\left(\frac{1}{u}\right)\dot{\theta} =-\frac{1}{u^{2}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta}.
Mas \dot{\theta}=\dfrac{l}{m}u^{2} (pela conservação do momento angular). Substituindo,
\dot r=-\frac{l}{m}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}.
Agora diferenciamos \dot r em relação ao tempo para obter \ddot r:
\ddot r=-\frac{l}{m}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right) =-\frac{l}{m}\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}\dot{\theta} =-\frac{l}{m}\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}\cdot\frac{l u^{2}}{m} =-\frac{l^{2}}{m^{2}}u^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}.
Por outro lado,
r\dot{\theta}^{2}=\frac{1}{u}\left(\frac{l u^{2}}{m}\right)^{2}=\frac{l^{2}}{m^{2}}u^{3}.
Subtraindo,
\ddot r - r\dot{\theta}^{2} =-\frac{l^{2}}{m^{2}}u^{2}\left(\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u\right).
A segunda lei de Newton na direção radial é m(\ddot r - r\dot{\theta}^{2}) = F(r), onde F(r) é a força radial (positiva se apontar para fora). Portanto obtemos a forma padrão da equação de Binet:
\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u =-\frac{m}{l^{2}}\frac{F(1/u)}{u^{2}}.
Aqui explicando variáveis:
  • u(\theta)=1/r.
  • F(r)=-\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} é a força radial.
  • l é o momento angular conservado.

Passo 3

Agora aplicamos a equação de Binet ao potencial dado. Primeiro calculamos a força:
Dado V(r)=-\dfrac{k}{r}+\dfrac{h}{r^{2}}, temos
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=\frac{k}{r^{2}}-\frac{2h}{r^{3}},
logo
F(r)=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=-\frac{k}{r^{2}}+\frac{2h}{r^{3}}.
Em termos de u=1/r, isto é
F(1/u)=-k u^{2}+2 h u^{3}.
Substituímos na equação de Binet:
\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u =-\frac{m}{l^{2}}\frac{-k u^{2}+2 h u^{3}}{u^{2}} =\frac{m k}{l^{2}}-\frac{2 m h}{l^{2}}\,u.
Reorganizando os termos que contêm u,
\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+\left(1+\frac{2 m h}{l^{2}}\right)u=\frac{m k}{l^{2}}.
Definimos para simplificar o coeficiente angular
\beta^{2}\equiv 1+\frac{2 m h}{l^{2}}\quad\text{(assim \(\beta>0\)).}
A equação fica
\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+\beta^{2}u=\frac{m k}{l^{2}}.

Passo 4

Fazemos a mudança de variável angular
\varphi=\beta\theta.
Observação: \varphi é uma nova coordenada angular; esta mudança corresponde a “reparametrizar” o ângulo, i.e., olhar a órbita em um referencial cuja linha de referência gira em relação a \theta.
Como \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}=\beta\,\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varphi} e \dfrac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}\theta^{2}}=\beta^{2}\dfrac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}\varphi^{2}}, a equação para u torna-se
\beta^{2}\left(\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\varphi^{2}}+u\right)=\frac{m k}{l^{2}},
ou seja
\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\varphi^{2}}+u=\frac{m k}{l^{2}\beta^{2}}.
Essa é exatamente a equação de Binet do problema de Kepler (potencial -k/r), escrita com a variável angular \varphi; a única diferença é o fator constante à direita, que apenas muda os parâmetros da conica (excentricidade, semi-eixo) mas não a forma estrutural da equação. Conclusão importante:
  • Em termos do ângulo \varphi=\beta\theta, a função u(\varphi) satisfaz a equação de Kepler; portanto a dependência radial r(\varphi)=1/u(\varphi) é a mesma que a de um movimento de Kepler puro (conicas: elipse se energia negativa), ou seja, a trajetória geométrica vista na coordenada \varphi é uma conica kepleriana.
Isso mostra que o movimento no potencial dado é equivalente ao movimento de Kepler quando expresso em um sistema de coordenadas que gira (a transformação \varphi=\beta\theta é essa rotação/distorção angular).

Passo 5

Interpretação angular: periodicidade e precessão.
Para o problema de Kepler padrão em variável \varphi, o raio r(\varphi) (ou u(\varphi)) é periódico com período 2\pi em \varphi: depois de \Delta\varphi=2\pi a partícula retorna ao mesmo ponto radial (por exemplo, passa novamente pelo periélio). Em termos do ângulo físico \theta isso significa que, após um ciclo radial completo,
\Delta\theta=\frac{\Delta\varphi}{\beta}=\frac{2\pi}{\beta}.
Mas um giro completo de 2\pi em \theta corresponde à volta fixa no espaço; se \Delta\theta\neq 2\pi então o periélio não volta à mesma direção no referencial inercial: ele avança (ou retrocede) em relação a um sistema fixo. O avanço do periélio por revolução (ângulo de precessão por oscilação radial) é
\Delta\Omega=2\pi-\Delta\theta=2\pi\Big(1-\frac{1}{\beta}\Big).
Isso já dá a precessão por revolução. Agora vamos ao pedido do enunciado: obter a velocidade angular média de precessão \dot{\Omega} para energia negativa no caso h pequeno.

Passo 6

Aproximação para h pequeno.
Definimos o parâmetro pequeno
\varepsilon\equiv\frac{2 m h}{l^{2}},
de tal forma que \beta=\sqrt{1+\varepsilon}. Para \varepsilon\ll 1 (i.e. h muito pequeno comparado ao termo kepleriano na escala de l^{2}/(2m)) podemos expandir em série de Taylor:
\beta=\sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\frac{\varepsilon}{2}=1+\frac{m h}{l^{2}},
ao primeiro ordem em \varepsilon. Então
\frac{1}{\beta}\approx 1-\frac{m h}{l^{2}}.
Substituímos isso na expressão da precessão por revolução:
\Delta\Omega=2\pi\Big(1-\frac{1}{\beta}\Big)\approx 2\pi\Big(1-\big(1-\frac{m h}{l^{2}}\big)\Big)=2\pi\frac{m h}{l^{2}}.
A velocidade angular média de precessão (i.e. precessão por unidade de tempo) é essa precessão por revolução dividida pelo tempo de uma revolução radial, que é o período \tau (tempo entre passagens sucessivas pelo periélio). Então
\dot{\Omega}=\frac{\Delta\Omega}{\tau}\approx\frac{2\pi m h}{l^{2}\tau},
o que era pedido.

Resposta

O movimento é equivalente ao de Kepler na coordenada angular \varphi=\beta\theta com \beta=\sqrt{1+\dfrac{2 m h}{l^{2}}}.
\dot{\Omega}=\dfrac{2\pi m h}{l^{2}\tau}

Exercícios relacionados