\vec{u}=(2,1,-1) \quad \text { e } \quad \vec{v}=(1,-2,3)
(a) determine a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v};
(b) determine a área do triângulo gerado por \vec{u} e \vec{v};
(c) explique a diferença geométrica entre essas duas áreas.
Pede-se:
(a) determinar a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v};
(b) determinar a área do triângulo gerado por \vec{u} e \vec{v};
(c) explicar, geometricamente, a diferença entre essas duas áreas.
Vou trabalhar só com as informações acima (os dois vetores) e as fórmulas padrão de produto vetorial e de área.
Passo 2
Conceito importante e fórmula que vamos usar (aulas rápidas):
Para dois vetores em \mathbb{R}^3, o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos com magnitude igual a \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Ou seja,
Área do triângulo: como expliquei antes, o triângulo obtido pelos vetores \vec{u} e \vec{v} tem exatamente metade da área do paralelogramo formado por eles (porque a diagonal do paralelogramo divide-o em dois triângulos congruentes). Portanto
\text{Área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\cdot 5\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{2}.Áâ
Passo 6
Explicação geométrica da diferença (resumida e intuitiva):
O paralelogramo é formado pelos dois vetores como lados adjacentes; sua área é base vezes altura.
O triângulo gerado por \vec{u} e \vec{v} é exatamente a metade desse paralelogramo, pois os dois triângulos formados pela diagonal que liga as pontas de \vec{u} e \vec{v} são congruentes (mesma base e mesma altura). Por isso a área do triângulo é metade da área do paralelogramo.
Resposta
(a) 5\sqrt{3}
(b) \dfrac{5\sqrt{3}}{2}
(c) O triângulo tem exatamente metade da área do paralelogramo porque a diagonal do paralelogramo divide-o em dois triângulos congruentes; por isso a área do triângulo é \tfrac{1}{2} da área do paralelogramo.