Problema 20. Seja
\vec{u}=(2,1,-1) \quad \text { e } \quad \vec{v}=(1,-2,3)
(a) determine a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v};
(b) determine a área do triângulo gerado por \vec{u} e \vec{v};
(c) explique a diferença geométrica entre essas duas áreas.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
\vec{u}=(2,1,-1)\qquad\text{e}\qquad \vec{v}=(1,-2,3).
Pede-se:
(a) determinar a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v};
(b) determinar a área do triângulo gerado por \vec{u} e \vec{v};
(c) explicar, geometricamente, a diferença entre essas duas áreas.
Vou trabalhar só com as informações acima (os dois vetores) e as fórmulas padrão de produto vetorial e de área.

Passo 2

Conceito importante e fórmula que vamos usar (aulas rápidas):
  • Para dois vetores em \mathbb{R}^3, o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos com magnitude igual a \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Ou seja,
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\sin\theta.
Aqui \|\cdot\| denota a norma (comprimento) do vetor e \theta é o ângulo entre os vetores.
  • Geometricamente, \|\vec{u}\times\vec{v}\| é exatamente a área do paralelogramo construído com \vec{u} e \vec{v} como lados adjacentes.
  • A área do triângulo formado por \vec{u} e \vec{v} (o triângulo com vértices na origem, em \vec{u} e em \vec{v}) é metade da área do paralelogramo:
\text{Área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\|\vec{u}\times\vec{v}\|.Áâ
Antes de usar essas fórmulas, mostro como calcular \vec{u}\times\vec{v} em coordenadas.

Passo 3

Cálculo do produto vetorial por determinante “componentes”:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}.
Expandindo (passo a passo):
  • Componente em \mathbf{i}: 1\cdot 3 - (-1)\cdot(-2)=3-2=1.
  • Componente em \mathbf{j}: 2\cdot 3 - (-1)\cdot 1=6-(-1)=6+1=7, e lembrando o sinal negativo na expansão, a componente será -7.
  • Componente em \mathbf{k}: 2\cdot (-2) - 1\cdot 1=-4-1=-5.
Portanto,
\vec{u}\times\vec{v}=(1,-7,-5).
(Dica prática: sempre compute cada menor 2×2 com cuidado e observe o sinal da componente \mathbf{j} que vem com menos no desenvolvimento.)

Passo 4

Agora calculo a magnitude de \vec{u}\times\vec{v}, que é a área do paralelogramo:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+(-7)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{1+49+25}=\sqrt{75}.
Simplificando \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}.
Logo a área do paralelogramo é \;5\sqrt{3}.

Passo 5

Área do triângulo: como expliquei antes, o triângulo obtido pelos vetores \vec{u} e \vec{v} tem exatamente metade da área do paralelogramo formado por eles (porque a diagonal do paralelogramo divide-o em dois triângulos congruentes). Portanto
\text{Área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\cdot 5\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{2}.Áâ

Passo 6

Explicação geométrica da diferença (resumida e intuitiva):
  • O paralelogramo é formado pelos dois vetores como lados adjacentes; sua área é base vezes altura.
  • O triângulo gerado por \vec{u} e \vec{v} é exatamente a metade desse paralelogramo, pois os dois triângulos formados pela diagonal que liga as pontas de \vec{u} e \vec{v} são congruentes (mesma base e mesma altura). Por isso a área do triângulo é metade da área do paralelogramo.

Resposta

(a) 5\sqrt{3}
(b) \dfrac{5\sqrt{3}}{2}
(c) O triângulo tem exatamente metade da área do paralelogramo porque a diagonal do paralelogramo divide-o em dois triângulos congruentes; por isso a área do triângulo é \tfrac{1}{2} da área do paralelogramo.

Exercícios relacionados