Problema 21. Demonstre que, para vetores
,
Interprete geometricamente o resultado.
Passo 1
Vou primeiro deixar muito claro o que o enunciado pede e o que temos à disposição.
- O enunciado pede que se prove a equivalência
- Informações dadas (que são a definição / propriedades que podemos usar):
-
são vetores quaisquer. - A definição de produto vetorial: para
e , - A propriedade geométrica do produto vetorial: se
é o ângulo entre e , então - Definição de dependência linear (no caso de dois vetores em
): e são linearmente dependentes se existe tal que ou ou . (Para dois vetores, dependência linear é equivalente a serem paralelos ou um ser nulo.)
-
- O objetivo é provar as duas implicações: (i) se
então e são linearmente dependentes; (ii) se são linearmente dependentes então . - Depois pedirão uma interpretação geométrica do resultado.
Passo 2
Primeira implicação fácil: mostro que se
e
são linearmente dependentes então
.
- Suponha que
para algum (caso em que um é múltiplo do outro). Então uso a bilinearidade do produto vetorial (ou simplesmente substituo): - Mas
para todo (produto vetorial de um vetor por si mesmo é zero porque os dois vetores são paralelos e o determinante com linhas iguais é zero). - Logo
- Além disso, se
ou (casos triviais de dependência linear), então claramente . - Conclusão desta parte: dependência linear
produto vetorial nulo.
Passo 3
Segunda implicação (a mais substancial): se
então
e
são linearmente dependentes. Vou explicar de duas maneiras: uma geométrica e outra algébrica (com componentes). Ambas são úteis para a prova e para a prova em prova — escolhe a que preferir usar no exame.
Primeiro argumento geométrico (intuitivo e rápido):
- Pela fórmula da magnitude do produto vetorial,
onde é o ângulo entre e , com . - Se
, então . Assim - Isso implica que pelo menos um dos fatores é zero. Se
ou então um dos vetores é o vetor nulo e, por definição, e são linearmente dependentes. Se ambos são não nulos, então necessariamente , o que significa ou . Em ambos os casos os vetores são paralelos (apontam na mesma ou em direções opostas), ou seja, existe tal que . Portanto são linearmente dependentes. - Essa é a interpretação geométrica: produto vetorial nulo significa que a área do paralelogramo gerado por
e é zero, logo os vetores são colineares/paralelos.
Passo 4
Agora apresento o argumento algébrico (útil quando se pede demonstração elementar com componentes).
-
Escrevendo
-
Se é múltiplo de
no sentido de que os dois vetores não são linearmente independentes). Então considere o caso . -
Como
, pelo menos uma das componentes é não nula. Fazemos uma análise por casos simples: Caso A:. - Defina
. Quero mostrar que e . - Da terceira equação do sistema temos
. Substituindo dá Como , segue . - Da segunda equação
, substituindo dá e novamente implica . - Logo
.
Caso B:e . - Agora defina
. Usando a primeira equação e a terceira (lembrando que ) chega-se a e . Assim .
Caso C:, , então porque . - Defina
. As equações mostram então que e . Portanto .
- Defina
-
Em todos os subcasos, a condição
força a existência de tal que , ou seja, dependência linear. -
Assim provamos a implicação algébrica: produto vetorial nulo
dependência linear.]
Passo 5
Resumo e reforço didático (modo “cola” para a prova):
- Ideia-chave geométrica:
tem magnitude igual à área do paralelogramo com lados e . Se essa área é zero, os vetores são colineares (paralelos) ou um é nulo. Colinearidade significa que um é múltiplo escalar do outro, que é exatamente dependência linear para dois vetores. - Ideia-chave algébrica: as três equações componentes do produto vetorial nulo forçam as razões
(quando ) a serem iguais; esse número comum é o tal que .
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
e então , portanto . - Se
e então ; os vetores são linearmente independentes (não paralelos).