Problema 21. Demonstre que, para vetores \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^{3},
\vec{u} \times \vec{v}=\overrightarrow{0} \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{u} \text { e } \vec{v} \text { são linearmente dependentes. }ã
Interprete geometricamente o resultado.

Passo 1

Vou primeiro deixar muito claro o que o enunciado pede e o que temos à disposição.
  • O enunciado pede que se prove a equivalência \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0}\quad\Longleftrightarrow\quad \vec{u}\text{ e }\vec{v}\text{ são linearmente dependentes.}ã
  • Informações dadas (que são a definição / propriedades que podemos usar):
    • \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^3 são vetores quaisquer.
    • A definição de produto vetorial: para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), \vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
    • A propriedade geométrica do produto vetorial: se \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, então |\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}|\;|\vec{v}|\;\sin\theta.
    • Definição de dependência linear (no caso de dois vetores em \mathbb{R}^3): \vec{u} e \vec{v} são linearmente dependentes se existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \vec{v}=\lambda\vec{u} ou \vec{u}=\mathbf{0} ou \vec{v}=\mathbf{0}. (Para dois vetores, dependência linear é equivalente a serem paralelos ou um ser nulo.)
  • O objetivo é provar as duas implicações: (i) se \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0} então \vec{u} e \vec{v} são linearmente dependentes; (ii) se são linearmente dependentes então \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0}.
  • Depois pedirão uma interpretação geométrica do resultado.

Passo 2

Primeira implicação fácil: mostro que se \vec{u} e \vec{v} são linearmente dependentes então \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0}.
  • Suponha que \vec{v}=\lambda\vec{u} para algum \lambda\in\mathbb{R} (caso em que um é múltiplo do outro). Então uso a bilinearidade do produto vetorial (ou simplesmente substituo): \vec{u}\times\vec{v}=\vec{u}\times(\lambda\vec{u})=\lambda(\vec{u}\times\vec{u}).
  • Mas \vec{u}\times\vec{u}=\overrightarrow{0} para todo \vec{u} (produto vetorial de um vetor por si mesmo é zero porque os dois vetores são paralelos e o determinante com linhas iguais é zero).
  • Logo \vec{u}\times\vec{v}=\lambda\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
  • Além disso, se \vec{u}=\overrightarrow{0} ou \vec{v}=\overrightarrow{0} (casos triviais de dependência linear), então claramente \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0}.
  • Conclusão desta parte: dependência linear \Rightarrow produto vetorial nulo.

Passo 3

Segunda implicação (a mais substancial): se \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0} então \vec{u} e \vec{v} são linearmente dependentes. Vou explicar de duas maneiras: uma geométrica e outra algébrica (com componentes). Ambas são úteis para a prova e para a prova em prova — escolhe a que preferir usar no exame.
Primeiro argumento geométrico (intuitivo e rápido):
  • Pela fórmula da magnitude do produto vetorial, |\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}|\;|\vec{v}|\;\sin\theta,onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, com 0\le\theta\le\pi.
  • Se \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0}, então |\vec{u}\times\vec{v}|=0. Assim 0=|\vec{u}|\;|\vec{v}|\;\sin\theta.
  • Isso implica que pelo menos um dos fatores é zero. Se |\vec{u}|=0 ou |\vec{v}|=0 então um dos vetores é o vetor nulo e, por definição, \vec{u} e \vec{v} são linearmente dependentes. Se ambos são não nulos, então necessariamente \sin\theta=0, o que significa \theta=0 ou \theta=\pi. Em ambos os casos os vetores são paralelos (apontam na mesma ou em direções opostas), ou seja, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \vec{v}=\lambda\vec{u}. Portanto são linearmente dependentes.
  • Essa é a interpretação geométrica: produto vetorial nulo significa que a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v} é zero, logo os vetores são colineares/paralelos.

Passo 4

Agora apresento o argumento algébrico (útil quando se pede demonstração elementar com componentes).
  • Escrevendo \vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\) e \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\), a condição \(\vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0}\) é equivalente ao sistema \[\begin{cases} u_2v_3-u_3v_2=0,\\[4pt] u_3v_1-u_1v_3=0,\\[4pt] u_1v_2-u_2v_1=0. \end{cases}
  • Se \vec{u}=\overrightarrow{0}\] então a dependência é imediata (qualquer \(\vec{v} é múltiplo de \vec{u}=\mathbf{0} no sentido de que os dois vetores não são linearmente independentes). Então considere o caso \vec{u}\neq\overrightarrow{0}.
  • Como \vec{u}\neq\overrightarrow{0}, pelo menos uma das componentes u_1,u_2,u_3 é não nula. Fazemos uma análise por casos simples:
    Caso A: u_1\neq 0.
    • Defina \lambda=\dfrac{v_1}{u_1}. Quero mostrar que v_2=\lambda u_2 e v_3=\lambda u_3.
    • Da terceira equação do sistema temos u_1v_2-u_2v_1=0. Substituindo v_1=\lambda u_1 u_1v_2-u_2(\lambda u_1)=0\quad\Rightarrow\quad u_1(v_2-\lambda u_2)=0.Como u_1\neq 0, segue v_2=\lambda u_2.
    • Da segunda equação u_3v_1-u_1v_3=0, substituindo v_1=\lambda u_1 u_3(\lambda u_1)-u_1v_3=0\quad\Rightarrow\quad u_1(v_3-\lambda u_3)=0,e novamente u_1\neq 0 implica v_3=\lambda u_3.
    • Logo \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)=\lambda(u_1,u_2,u_3)=\lambda\vec{u}.
    Caso B: u_1=0 e u_2\neq 0.
    • Agora defina \lambda=\dfrac{v_2}{u_2}. Usando a primeira equação u_2v_3-u_3v_2=0 e a terceira u_1v_2-u_2v_1=0 (lembrando que u_1=0) chega-se a v_3=\lambda u_3 e v_1=\lambda u_1=0. Assim \vec{v}=\lambda\vec{u}.
    Caso C: u_1=0, u_2=0, então u_3\neq 0 porque \vec{u}\neq\overrightarrow{0}.
    • Defina \lambda=\dfrac{v_3}{u_3}. As equações mostram então que v_1=\lambda u_1=0 e v_2=\lambda u_2=0. Portanto \vec{v}=\lambda\vec{u}.
  • Em todos os subcasos, a condição \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0} força a existência de \lambda tal que \vec{v}=\lambda\vec{u}, ou seja, dependência linear.
  • Assim provamos a implicação algébrica: produto vetorial nulo \Rightarrow dependência linear.]

Passo 5

Resumo e reforço didático (modo “cola” para a prova):
  • Ideia-chave geométrica: \vec{u}\times\vec{v} tem magnitude igual à área do paralelogramo com lados \vec{u} e \vec{v}. Se essa área é zero, os vetores são colineares (paralelos) ou um é nulo. Colinearidade significa que um é múltiplo escalar do outro, que é exatamente dependência linear para dois vetores.
  • Ideia-chave algébrica: as três equações componentes do produto vetorial nulo forçam as razões v_i/u_i (quando u_i\neq 0) a serem iguais; esse número comum é o \lambda tal que \vec{v}=\lambda\vec{u}.
Exemplos rápidos para fixar:
  • Se \vec{u}=(1,2,3) e \vec{v}=(2,4,6) então \vec{v}=2\vec{u}, portanto \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0}.
  • Se \vec{u}=(1,0,0) e \vec{v}=(0,1,0) então \vec{u}\times\vec{v}=(0,0,1)\neq\overrightarrow{0}; os vetores são linearmente independentes (não paralelos).

Resposta

\vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0} se, e somente se, \vec{u} e \vec{v} são linearmente dependentes (i.e., são paralelos ou um deles é o vetor nulo).

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