Problema 33.

Considere uma elipse com as seguintes características:
  • Um dos extremos do eixo menor é o ponto M=(3,-1);
  • Os focos da elipse estão sobre a reta horizontal y=-6;
  • A excentricidade da elipse é dada por e=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Determine os elementos geométricos da elipse (centro, semieixos, focos) e encontre sua equação.

Passo 1

O que o enunciado dá (lista clara dos dados importantes):
  • Um extremo do eixo menor é o ponto (3,-1).
  • Os focos estão sobre a reta horizontal y=-6.
  • A excentricidade é e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o centro da elipse.
  • Determinar os semieixos (semieixo maior a e semieixo menor b).
  • Determinar os focos.
  • Encontrar a equação da elipse.

Passo 2

Interpretar a posição dos focos e a orientação dos eixos:
  • Os focos pertencem à reta horizontal y=-6. Os focos sempre estão sobre o eixo maior da elipse, portanto o eixo maior é horizontal e está contido na reta y=-6.
  • Logo, o centro da elipse tem coordenada y igual a -6. Escrevendo o centro como (h,k), temos já k=-6.

Passo 3

Usar a informação sobre o extremo do eixo menor para achar h e b:
  • O eixo menor é perpendicular ao eixo maior. Como o eixo maior é horizontal, o eixo menor é vertical.
  • Os extremos do eixo menor têm a forma (h, k\pm b), onde b é o semieixo menor e (h,k) é o centro.
  • Foi dado um extremo do eixo menor: (3,-1). Comparando com (h,k\pm b) e lembrando que k=-6, temos -1 = k \pm b = -6 \pm b.A escolha válida é -6 + b = -1, portanto b = 5.
  • Além disso, o extremo tem abscissa 3, que deve ser igual a h. Assim o centro é (h,k) = (3,-6).

Passo 4

Lembrar e explicar as relações fundamentais da elipse (fórmulas que vamos usar):
  • Denotar por a o semieixo maior, por b o semieixo menor e por c a distância do centro a cada foco.
  • Para uma elipse com eixo maior horizontal vale a identidade c^2 = a^2 - b^2.Isso vem da definição geométrica envolvendo distância a focos e das propriedades da elipse (não é necessário demonstrar aqui, apenas usar).
  • A excentricidade é definida por e = \frac{c}{a}.Portanto c = a e.
  • Podemos combinar as duas fórmulas: substituindo c = ae em c^2 = a^2 - b^2 obtemos a^2 e^2 = a^2 - b^2 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = a^2(1-e^2).

Passo 5

Calcular a^2 usando o valor de b e e:
  • Já sabemos b=5, então b^2=25.
  • Também e=\dfrac{\sqrt{2}}{2} implica e^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}.
  • Usando b^2 = a^2(1-e^2) obtemos 25 = a^2\left(1-\frac{1}{2}\right)=a^2\cdot\frac{1}{2}.Portanto a^2 = 25\cdot 2 = 50.

Passo 6

Determinar a e c:
  • Do passo anterior a^2=50, logo a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.
  • Usando c = a e, c = 5\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 5.
  • Verificação rápida: c^2 = 25 e a^2-b^2 = 50-25=25, consistente.

Passo 7

Determinar as coordenadas dos focos:
  • Os focos ficam a uma distância c do centro ao longo do eixo maior (horizontal). O centro é (3,-6) e c=5.
  • Portanto os focos são F_1 = (3-5, -6) = (-2,-6), \qquad F_2 = (3+5, -6) = (8,-6).

Passo 8

Montar a equação canônica da elipse e substituir os valores:
  • Para uma elipse centrada em (h,k) com eixo maior horizontal a equação padrão é \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.
  • Substituindo h=3, k=-6, a^2=50, b^2=25, obtemos a equação \frac{(x-3)^2}{50}+\frac{(y+6)^2}{25}=1.

Resposta

Centro: (3,-6)
Semieixos: a=5\sqrt{2}, b=5 (portanto comprimento do eixo maior 2a=10\sqrt{2} e do menor 2b=10)
Focos: F_1=(-2,-6) e F_2=(8,-6)
Equação: \dfrac{(x-3)^2}{50}+\dfrac{(y+6)^2}{25}=1

Exercícios relacionados