Problema 33.
Considere uma elipse com as seguintes características:
- Um dos extremos do eixo menor é o ponto
;
- Os focos da elipse estão sobre a reta horizontal
;
- A excentricidade da elipse é dada por
.
Determine os elementos geométricos da elipse (centro, semieixos, focos) e encontre sua equação.
Passo 1
O que o enunciado dá (lista clara dos dados importantes):
- Um extremo do eixo menor é o ponto
. - Os focos estão sobre a reta horizontal
. - A excentricidade é
.
O que o enunciado pede:
- Determinar o centro da elipse.
- Determinar os semieixos (semieixo maior
e semieixo menor ). - Determinar os focos.
- Encontrar a equação da elipse.
Passo 2
Interpretar a posição dos focos e a orientação dos eixos:
- Os focos pertencem à reta horizontal
. Os focos sempre estão sobre o eixo maior da elipse, portanto o eixo maior é horizontal e está contido na reta . - Logo, o centro da elipse tem coordenada
igual a . Escrevendo o centro como , temos já .
Passo 3
Usar a informação sobre o extremo do eixo menor para achar
e
:
- O eixo menor é perpendicular ao eixo maior. Como o eixo maior é horizontal, o eixo menor é vertical.
- Os extremos do eixo menor têm a forma
, onde é o semieixo menor e é o centro. - Foi dado um extremo do eixo menor:
. Comparando com e lembrando que , temos A escolha válida é , portanto - Além disso, o extremo tem abscissa
, que deve ser igual a . Assim o centro é
Passo 4
Lembrar e explicar as relações fundamentais da elipse (fórmulas que vamos usar):
- Denotar por
o semieixo maior, por o semieixo menor e por a distância do centro a cada foco. - Para uma elipse com eixo maior horizontal vale a identidade
Isso vem da definição geométrica envolvendo distância a focos e das propriedades da elipse (não é necessário demonstrar aqui, apenas usar). - A excentricidade é definida por
Portanto . - Podemos combinar as duas fórmulas: substituindo
em obtemos
Passo 5
Calcular
usando o valor de
e
:
- Já sabemos
, então . - Também
implica - Usando
obtemos Portanto
Passo 6
Determinar
e
:
- Do passo anterior
, logo - Usando
, - Verificação rápida:
e , consistente.
Passo 7
Determinar as coordenadas dos focos:
- Os focos ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo maior (horizontal). O centro é e . - Portanto os focos são
Passo 8
Montar a equação canônica da elipse e substituir os valores:
- Para uma elipse centrada em
com eixo maior horizontal a equação padrão é - Substituindo
, , , , obtemos a equação
Resposta
Centro:
Semieixos: ,
(portanto comprimento do eixo maior
e do menor
)
Focos: e
Equação:
Semieixos:
Focos:
Equação: