Determinar a equação da circunferência cujo centro coincide com o vértice da parábola C e que passa pelo foco dessa mesma parábola.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Coeficientes da parte quadrática da cônica: A=3, B=2\sqrt{3}, C=1.
Existem termos lineares 2x e -2\sqrt{3}y que deslocam a parábola (isto é, o vértice não é necessariamente a origem a priori).
A circunferência pedida terá centro no vértice da parábola e raio igual à distância vértice–foco.
Passo 2
Primeiro verifiquemos que a cônica é de fato uma parábola. Para uma cônica geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\cdots=0, o discriminante que classifica o tipo é B^{2}-4AC.
Como B^{2}-4AC=0, a cônica é uma parábola. Ótimo — estamos no caso certo.
Passo 3
Para encontrar vértice e foco é conveniente eliminar o termo misto xy\) por uma rotação de eixos. A fórmula prática para o ângulo de rotação \(\theta\) que zera o termo \(XY\) é
\[\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}.
Aqui A-C=3-1=2 e B=2\sqrt{3}, logo
\tan 2\theta = \frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Daí 2\theta = 60^\circ, portanto podemos tomar
\theta=30^\circ=\frac{\pi}{6}.
A transformação de rotação de eixos escolhida (rotacionando as variáveis em sentido padrão) é