Problema 17.

Considere a parábola definida pela equação
C: \quad 3 x^{2}+y^{2}+2 \sqrt{3} x y+2 x-2 \sqrt{3} y=0 .
Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com o vértice da parábola C, passando pelo foco dessa mesma parábola.

Passo 1

O enunciado nos dá a parábola definida por
C:\quad 3x^{2}+y^{2}+2\sqrt{3}\,xy+2x-2\sqrt{3}\,y=0.
O que se pede:
  • Determinar a equação da circunferência cujo centro coincide com o vértice da parábola C e que passa pelo foco dessa mesma parábola.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes da parte quadrática da cônica: A=3, B=2\sqrt{3}, C=1.
  • Existem termos lineares 2x e -2\sqrt{3}y que deslocam a parábola (isto é, o vértice não é necessariamente a origem a priori).
  • A circunferência pedida terá centro no vértice da parábola e raio igual à distância vértice–foco.

Passo 2

Primeiro verifiquemos que a cônica é de fato uma parábola. Para uma cônica geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\cdots=0, o discriminante que classifica o tipo é B^{2}-4AC.
Calculemos:
B^{2}-4AC=(2\sqrt{3})^{2}-4\cdot 3\cdot 1=12-12=0.
Como B^{2}-4AC=0, a cônica é uma parábola. Ótimo — estamos no caso certo.

Passo 3

Para encontrar vértice e foco é conveniente eliminar o termo misto xy\) por uma rotação de eixos. A fórmula prática para o ângulo de rotação \(\theta\) que zera o termo \(XY\) é \[\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}.
Aqui A-C=3-1=2 e B=2\sqrt{3}, logo
\tan 2\theta = \frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Daí 2\theta = 60^\circ, portanto podemos tomar
\theta=30^\circ=\frac{\pi}{6}.
A transformação de rotação de eixos escolhida (rotacionando as variáveis em sentido padrão) é
\begin{cases} x=\cos\theta\,X-\sin\theta\,Y,\\[4pt] y=\sin\theta\,X+\cos\theta\,Y, \end{cases}
com \cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\] e \(\sin\theta=\dfrac{1}{2}.]

Passo 4

Façamos a substituição explicitamente. Primeiro expresse x e y em X,Y:
x=\frac{\sqrt{3}}{2}X-\frac{1}{2}Y,\qquad y=\frac{1}{2}X+\frac{\sqrt{3}}{2}Y.
Agora calculemos x^{2},y^{2},xy em termos de X,Y.
  • Para x^{2}:
x^{2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}X-\frac{1}{2}Y\right)^{2} =\frac{3}{4}X^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}XY+\frac{1}{4}Y^{2}.
  • Para y^{2}:
y^{2}=\left(\frac{1}{2}X+\frac{\sqrt{3}}{2}Y\right)^{2} =\frac{1}{4}X^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}XY+\frac{3}{4}Y^{2}.
  • Para xy (usar x=(aX+bY), y=(cX+dY)):
xy=\frac{\sqrt{3}}{4}X^{2}+\frac{1}{2}XY-\frac{\sqrt{3}}{4}Y^{2}.
Agora multipliquemos pelos coeficientes da equação original e some:
Quadrático:
\begin{aligned} 3x^{2}+y^{2}+2\sqrt{3}\,xy &=3\!\left(\frac{3}{4}X^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}XY+\frac{1}{4}Y^{2}\right) +\left(\frac{1}{4}X^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}XY+\frac{3}{4}Y^{2}\right)\\[4pt] &\quad+2\sqrt{3}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{4}X^{2}+\frac{1}{2}XY-\frac{\sqrt{3}}{4}Y^{2}\right). \end{aligned}
Calcule termo a termo:
  • Coeficiente de X^{2}:
\frac{9}{4}+\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=4.
  • Coeficiente de XY:
-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}=0.
  • Coeficiente de Y^{2}:
\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-\frac{3}{2}=0.
Portanto a parte quadrática reduz-se a 4X^{2}.
Agora os termos lineares: compute 2x-2\sqrt{3}\,y.
Usando as expressões de x,y:
2x=\sqrt{3}\,X-Y,\qquad -2\sqrt{3}\,y=-\sqrt{3}\,X-3Y,
logo
2x-2\sqrt{3}\,y=(\sqrt{3}X-Y)+(-\sqrt{3}X-3Y)=-4Y.
Somando tudo, a equação transformada fica
4X^{2}-4Y=0.
Dividindo por 4:
X^{2}-Y=0, \qquad\text{ou}\qquad Y=X^{2}.
Esse é um resultado ótimo: em coordenadas rotacionadas a parábola fica na forma padrão Y=X^{2}, com vértice em (X,Y)=(0,0).]

Passo 5

Identifiquemos vértice e foco na nova referência. Para a parábola
Y=X^{2},
podemos comparar com a forma canônica Y=\dfrac{1}{4p}X^{2}. Aqui o coeficiente é 1, logo
\frac{1}{4p}=1 \quad\Rightarrow\quad p=\frac{1}{4}.
Para a forma Y=\dfrac{1}{4p}X^{2}, o foco mede p unidades ao longo do eixo OY a partir do vértice. Assim:
  • Vértice em (X,Y)=(0,0).
  • Foco em (X,Y)=\left(0,\dfrac{1}{4}\right).

Passo 6

Agora voltamos às coordenadas originais (x,y). A transformação inversa é a mesma dada antes:
x=\frac{\sqrt{3}}{2}X-\frac{1}{2}Y,\qquad y=\frac{1}{2}X+\frac{\sqrt{3}}{2}Y.
Aplicando ao foco \left(0,\dfrac{1}{4}\right) (ou seja, X=0, Y=\dfrac{1}{4}):
\begin{aligned} x_{F}&=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0 -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} = -\frac{1}{8},\\[4pt] y_{F}&=\frac{1}{2}\cdot 0 +\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}. \end{aligned}
Portanto o foco em coordenadas originais é
F\left(-\frac{1}{8},\,\frac{\sqrt{3}}{8}\right).
O vértice, que na coordenada rotacionada era (0,0), nas coordenadas originais é
V(0,0).
(De fato a substituição de X=0,Y=0 x=0,y=0.)]

Passo 7

A circunferência pedida tem centro no vértice V(0,0) e deve passar por F. Assim o raio r é a distância VF:
r=\sqrt{\left(-\frac{1}{8}-0\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{8}-0\right)^{2}} =\sqrt{\frac{1}{64}+\frac{3}{64}} =\sqrt{\frac{4}{64}} =\sqrt{\frac{1}{16}} =\frac{1}{4}.
Logo a equação da circunferência com centro em (0,0) e raio r=\dfrac{1}{4} é
x^{2}+y^{2}=\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}.

Resposta

x^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{16}

Exercícios relacionados