Problema 34.
Considere uma elipse com as seguintes características:
- Um dos extremos do eixo menor é o ponto
;
- Os focos da elipse estão sobre a reta horizontal
;
- A excentricidade da elipse é dada por
.
Determine os elementos geométricos da elipse (centro, semieixos, focos) e encontre sua equação.
Passo 1
O enunciado pede para achar o centro, os semieixos
e
, os focos e a equação de uma elipse tal que:
– um dos extremos do eixo menor é ;
– os focos estão sobre a reta horizontal ;
– a excentricidade é .
Para resolver vamos usar a geometria da elipse: identificação de eixo maior ou menor, fórmula e
, e posição dos focos em relação ao centro.
– um dos extremos do eixo menor é
– os focos estão sobre a reta horizontal
– a excentricidade é
Para resolver vamos usar a geometria da elipse: identificação de eixo maior ou menor, fórmula
Passo 2
Como os focos têm
, o eixo principal (maior) é horizontal e o centro
tem coordenada
. Já que
é extremidade do eixo menor, esse eixo é vertical e sua abscissa coincide com a do centro. Logo
Passo 3
No eixo menor vertical, as extremidades são
. Como
corresponde a
, temos
Passo 4
Usamos
e
. Como
,
Em seguida
Passo 5
Os focos, estando no eixo horizontal, ficam em
, isto é,
Passo 6
A equação padrão da elipse com eixo maior horizontal e centro em
é
com
e
. Portanto
Resposta
Centro:
Semieixo maior:
Semieixo menor:
Focos: ,
Equação:
Semieixo maior:
Semieixo menor:
Focos:
Equação: