Problema 34.

Considere uma elipse com as seguintes características:
  • Um dos extremos do eixo menor é o ponto M=(3,-1);
  • Os focos da elipse estão sobre a reta horizontal y=-6;
  • A excentricidade da elipse é dada por e=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Determine os elementos geométricos da elipse (centro, semieixos, focos) e encontre sua equação.

Passo 1

O enunciado pede para achar o centro, os semieixos a e b, os focos e a equação de uma elipse tal que:
– um dos extremos do eixo menor é M=(3,-1);
– os focos estão sobre a reta horizontal y=-6;
– a excentricidade é e=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Para resolver vamos usar a geometria da elipse: identificação de eixo maior ou menor, fórmula c^2=a^2-b^2 e e=c/a, e posição dos focos em relação ao centro.

Passo 2

Como os focos têm y=-6, o eixo principal (maior) é horizontal e o centro C tem coordenada y_C=-6. Já que M é extremidade do eixo menor, esse eixo é vertical e sua abscissa coincide com a do centro. Logo
x_C=3,\quad y_C=-6,\quad C=(3,-6).

Passo 3

No eixo menor vertical, as extremidades são \bigl(h,k\pm b\bigr). Como M=(3,-1) corresponde a (h,k+b), temos
k+b=-1\quad\Longrightarrow\quad -6+b=-1\quad\Longrightarrow\quad b=5.

Passo 4

Usamos e=\tfrac{c}{a} e c^2=a^2-b^2. Como e^2=\tfrac12,
a^2(1-e^2)=b^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2\Bigl(1-\tfrac12\Bigr)=25 \quad\Longrightarrow\quad a^2=50 \quad\Longrightarrow\quad a=5\sqrt2.
Em seguida
c=a\,e=5\sqrt2\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=5.

Passo 5

Os focos, estando no eixo horizontal, ficam em (h\pm c,k), isto é,
F_1=(3-5,\,-6)=(-2,-6), \quad F_2=(3+5,\,-6)=(8,-6).

Passo 6

A equação padrão da elipse com eixo maior horizontal e centro em (3,-6) é
\frac{(x-3)^2}{a^2}+\frac{(y+6)^2}{b^2}=1
com a^2=50 e b^2=25. Portanto
\frac{(x-3)^2}{50}+\frac{(y+6)^2}{25}=1.

Resposta

Centro: C=(3,-6)
Semieixo maior: a=5\sqrt2
Semieixo menor: b=5
Focos: F_1=(-2,-6), F_2=(8,-6)
Equação:
\frac{(x-3)^2}{50}+\frac{(y+6)^2}{25}=1.

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