Problema 33.

Escreva a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto de interseção das retas
r_{1}: y=x+1 \quad \text { e } \quad r_{2}: y=-2 x+4
Além disso, escreva a equação paramétrica da reta que forma um ângulo de 30^{\circ} com a reta r_{1}.

Passo 1

O enunciado pede para achar a reta que passa pelo ponto de interseção de
r_{1}: y = x + 1
e
r_{2}: y = -2x + 4
e que faz um ângulo de 30^\circ com r_{1}.
Para resolver, vamos primeiro obter o ponto de interseção P. Em seguida, extraímos a direção de r_{1} e aplicamos uma rotação de +30^\circ e de -30^\circ a esse vetor para encontrar as duas possíveis direções da reta procurada. Finalmente, escrevemos a forma paramétrica usando P e cada vetor direcional.

Passo 2

Determinar a interseção de r_{1} e r_{2} resolvendo
x + 1 = -2x + 4.
Isso dá
3x = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 1,
e então
y = x + 1 = 1 + 1 = 2.
Logo o ponto de interseção é
P = (1,2).

Passo 3

A reta r_{1} tem coeficiente angular 1, logo um vetor diretor para r_{1} é
\mathbf{v}_{1} = (1,1).
Normalizando não é necessário, pois só precisamos de direções relativas para a rotação.

Passo 4

Para obter um vetor que faça ângulo de 30^\circ com \mathbf{v}_{1}, aplicamos a matriz de rotação
R_{\pm 30^\circ} = \begin{pmatrix} \cos 30^\circ & \mp\sin 30^\circ\\\ \pm\sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{pmatrix}
a \mathbf{v}_{1}. Como \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2} e \sin 30^\circ = \tfrac12, obtemos dois vetores:
\mathbf{v}_{+} = R_{+30^\circ}(1,1) = \Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac12,\;\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{\sqrt3-1}{2},\;\tfrac{\sqrt3+1}{2}\Bigr),
\mathbf{v}_{-} = R_{-30^\circ}(1,1) = \Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac12,\;-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{\sqrt3+1}{2},\;\tfrac{\sqrt3-1}{2}\Bigr).
Para eliminar frações, podemos usar vetores proporcionais:
\mathbf{d}_{+} = (\sqrt3-1,\;\sqrt3+1), \quad \mathbf{d}_{-} = (\sqrt3+1,\;\sqrt3-1).

Resposta

As retas que passam por [P=(1,2)) e formam ângulo de 30^\circ com r_{1} são, em forma paramétrica:
Para o giro de +30^\circ:
\begin{cases} x = 1 + t\,(\sqrt3 - 1),\\\ y = 2 + t\,(\sqrt3 + 1), \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Para o giro de (-30^\circ]:
\begin{cases} x = 1 + t\,(\sqrt3 + 1),\\\ y = 2 + t\,(\sqrt3 - 1), \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

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