Sejam F_{1} e F_{2} os focos da hipérbole. Para uma reta tangente qualquer à curva, sejam d_{1} e d_{2} as distâncias dessa reta aos focos F_{1} e F_{2}, respectivamente. Demonstre que o produto dessas distâncias é constante, ou seja,
d_{1} \cdot d_{2}=b^{2}
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
com focos F_{1} e F_{2}, e pede para mostrar que, para qualquer reta tangente à curva, se d_{1} e d_{2} são as distâncias dessa reta a F_{1} e F_{2}, então
d_{1}\,d_{2}=b^{2}.
O conteúdo usado será geometria analítica: equação da reta tangente a um ponto genérico da hipérbole e fórmula da distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Escolhemos um ponto genérico (x_{0},y_{0}) na hipérbole. Como