Problema 36.

Considere a hipérbole definida pela equação:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
Sejam F_{1} e F_{2} os focos da hipérbole. Para uma reta tangente qualquer à curva, sejam d_{1} e d_{2} as distâncias dessa reta aos focos F_{1} e F_{2}, respectivamente. Demonstre que o produto dessas distâncias é constante, ou seja,
d_{1} \cdot d_{2}=b^{2}

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
com focos F_{1} e F_{2}, e pede para mostrar que, para qualquer reta tangente à curva, se d_{1} e d_{2} são as distâncias dessa reta a F_{1} e F_{2}, então
d_{1}\,d_{2}=b^{2}.
O conteúdo usado será geometria analítica: equação da reta tangente a um ponto genérico da hipérbole e fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Escolhemos um ponto genérico (x_{0},y_{0}) na hipérbole. Como
\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1,
a equação da reta tangente nesse ponto é, por troca de variáveis na forma T:
\frac{x\,x_{0}}{a^{2}}-\frac{y\,y_{0}}{b^{2}}=1.
Chamando A=\tfrac{x_{0}}{a^{2}}, B=-\tfrac{y_{0}}{b^{2}} e C=-1, temos a reta na forma
A x + B y + C=0.

Passo 3

Os focos são
F_{1}=(c,0),\quad F_{2}=(-c,0),
com c^{2}=a^{2}+b^{2}. A fórmula da distância de (x_{f},y_{f}) à reta A x + B y + C=0 é
d=\frac{\bigl|A\,x_{f}+B\,y_{f}+C\bigr|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.
Logo
d_{1} =\frac{\bigl|A\,c + B\cdot0 + C\bigr|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} =\frac{\bigl|A\,c + C\bigr|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}},
d_{2} =\frac{\bigl|A(-c)+C\bigr|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} =\frac{\bigl|-A\,c + C\bigr|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.

Passo 4

O produto é
d_{1}\,d_{2} =\frac{\bigl|(A\,c+C)(-A\,c+C)\bigr|}{A^{2}+B^{2}} =\frac{\bigl|C^{2}-(A\,c)^{2}\bigr|}{A^{2}+B^{2}}.
Mas C=-1, de modo que C^{2}=1, e
(A\,c)^{2} =\frac{x_{0}^{2}}{a^{4}}\,(a^{2}+b^{2}) =\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}\,x_{0}^{2}}{a^{4}}.
Por outro lado
A^{2}+B^{2} =\frac{x_{0}^{2}}{a^{4}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{4}}.
Usando a condição \tfrac{x_{0}^{2}}{a^{2}}-\tfrac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1 faz surgir, após simplificar, exatamente
d_{1}\,d_{2}=b^{2}.

Resposta

d_{1}\,d_{2}=b^{2}.

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