Problema 40.

Considere a equação da curva dada por
y^{2}=4-6 x
a) Verificar que essa equação representa uma parábola;
b) Determinar os seguintes elementos geométricos da parábola: as coordenadas do vértice V , valor do parâmetro p e a equação da diretriz.

Passo 1

O enunciado dá a curva
y^{2}=4-6x
e pede:
(a) mostrar que é uma parábola;
(b) encontrar o vértice V, o parâmetro p e a equação da diretriz.
O conteúdo aqui é seções cônicas, em particular a forma canônica de parábolas.

Passo 2

Reescrevemos a equação de modo a compará-la com a forma canônica
y^{2}=4p(x-h)+k.
Começamos isolando o termo em x:
y^{2}=4-6x=-6x+4=-6\bigl(x-\tfrac{2}{3}\bigr).
Logo, temos
y^{2}=-6\bigl(x-\tfrac{2}{3}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 4p=-6,\;h=\tfrac{2}{3},\;k=0.

Passo 3

Do passo anterior, 4p=-6 implica
p=-\tfrac{6}{4}=-\tfrac{3}{2}.
E o vértice dessa parábola, que em forma canônica é (h,k), fica
V\bigl(\tfrac{2}{3},0\bigr).

Passo 4

Para parábolas da forma y^{2}=4p(x-h)+k com eixo horizontal, a diretriz é
x=h-p.
Substituindo h=\tfrac{2}{3} e p=-\tfrac{3}{2}, vem
x=\tfrac{2}{3}-\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) =\tfrac{2}{3}+\tfrac{3}{2} =\tfrac{4+9}{6} =\tfrac{13}{6}.

Resposta

(a) A curva é uma parábola de eixo horizontal.
(b) Vértice V\bigl(\tfrac{2}{3},0\bigr), parâmetro p=-\tfrac{3}{2} e diretriz x=\tfrac{13}{6}.

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